Lineární nezávislost: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m →Definice: Drobná změna formulace |
m →Vlastnosti: Změna matematické notace pro psaní množin po sobě jdoucích přirozených čísel |
||
Řádek 83:
Lineární (ne)závislost se definuje i tak, že soubor vektorů je lineárně závislý, právě když ''existuje v tomto souboru vektor, který lze vyjádřit jako [[lineární kombinace|lineární kombinaci]] vektorů zbylých''. Jinak řečeno, soubor vektorů je lineárně závislý, právě když existuje vektor ležící v [[lineární obal|lineárním obalu]] vektorů zbylých. Protože jsme výše zvolili jinou definici, tak si toto tvrzení nyní dokážeme.
* Buď <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> soubor ''n'' vektorů, kde <math>\scriptstyle n \geq 2</math>. Pak <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> je lineárně závislý, právě když existuje vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_{i_0}</math> pro jisté <math>\scriptstyle i_0 \in \
:<math> \vec{x}_{i_0} \in \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_{i_0 - 1}, \vec{x}_{i_0 + 1}, \ldots, \vec{x}_n \}_\text{lin},</math>
:kde <math>\scriptstyle \{ \ldots \}_\text{lin}</math> značí [[lineární obal]].
Řádek 97:
Přímým důsledkem právě dokázané věty je následující tvrzení:
* Buď <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> lineárně závislý soubor ''n'' vektorů, kde <math>\scriptstyle n \geq 2</math>. Pak existuje <math>\scriptstyle i_0 \in \
:<math> \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_{i_0 - 1}, \vec{x}_{i_0 + 1}, \ldots, \vec{x}_n \}_\text{lin}.</math>
Řádek 115:
Potom ale dostáváme i netriviální lineární kombinaci původního souboru
:<math> \sum_{i=1}^k \beta_i \vec{x}_i = \vec{0}</math>
když položíme <math>\scriptstyle \beta_{k_i} \equiv \alpha_i</math> pro <math>\scriptstyle i \in \
* Nechť <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> je lineárně závislý soubor ''n'' vektorů. Pak buď <math>\scriptstyle \vec{x}_1 = \vec{0}</math>, nebo <math>\scriptstyle n \geq 2</math> a přitom existuje <math>\scriptstyle i_0 \in \{2, \ldots, n \}</math> takové, že
| |||