Wikipedie

Pseudoinverze matice: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m překlep
typos + link
Řádek 1:
'''Pseudoinverzní matice''' nebo též '''zobecněná inverze''' se používá ke zobecnění pojmu [[inverzní matice]] v případech, kdy matice <math>\mathbf{A}</math> je čtvercová singulární, nebo obdélníková, tedy v případech, kdy klasická inverze neexistuje. Pojem inverze lze zobecnit mnoha různými způsoby. V praxi se nejčastěji setkáme s tzv. '''Moore-PenroseovouMoore–Penroseovou pseudoinverzí''', kterou poprvé zavedli Moore (1920) a [[Roger Penrose|Penrose]] (19551931) a obvykle se značí <math>\mathbf{A}^{+}</math>.
 
== Moore-PenroseovaMoore–Penroseova pseudoinverze ==
 
=== Definice ===
 
Moore-PenroseovouMoore–Penroseovou pseudoinverzí matice <math>\mathbf{A}</math> nazveme matici, která je jednoznačným řešením soustavy čtyř (nelineárních) rovnic
 
: (1) <math>\mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{A} = \mathbf{A},</math>
Řádek 12:
: (4) <math>(\mathbf{X}\mathbf{A})^T = \mathbf{X}\mathbf{A},</math>
 
tzv. Moore-PenroseovýchMoore–Penroseových podmínek. Moore-PenroseovuMoore–Penroseovu pseudoinverzi značíme <math>\mathbf{A}^{+}</math>. (Všimněme si, že pro čtvercovou regulární matici a její inverzi jsou všechny podmínky splněny triviálně.)
 
=== Výpočet, alternativní definice ===
Řádek 32:
=== Vlastnosti ===
 
Chápeme-li původní matici jako lineární zobrazení <math>\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m</math> a provedeme-li jeho restrikci na <math>[\mathcal{N}(\mathbf{A})]^\perp\equiv\mathcal{R}(\mathbf{V}_r)\longrightarrow\mathcal{R}(\mathbf{A})\equiv\mathcal{R}(\mathbf{U}_r)</math>, kde je bijektivní, pak Moore-PenroseovaMoore–Penroseova pseudoinverze reprezentuje jeho inverzi.
 
Má-li matice <math>\mathbf{A}</math> lineárně nezávislé sloupce, pak <math>\mathbf{A}^T\mathbf{A}</math> je regulární a
Řádek 65:
Je důležité si uvědomit, numerický aspekt celého výpočtu, a sice, že výpočet pseudoinverzní matice může být v obecném případě velmi náročný (je třeba spočítat singulární rozklad), v případě kdy má matice plnou sloupcovou nebo řádkovou hodnost, lze použít výpočetně rychlejší vztahy <math>(\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^T</math>, respektive <math>\mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T)^{-1}</math>, výsledek výpočetu pak ovšem může být silně ovlivněn (zcela zničen) vlivem zaokrouhlovacích chyb. -->
 
== Další zobecněné inverze odvozené od Moore-PenroseovýchMoore–Penroseových podmínek ==
 
Uvažujme Moore-PenroseovyMoore–Penroseovy podmínky očíslované tak jak je uvedeno výše. Pro zobecnění pojmu inverzní matice není nezbytně nutné vyžadovat splnění všech čtyř podmínek. Následující zobecněné inverze jsou pojmenované a označené podle toho, které z podmínek splňují:
 
* (1)-inverze, značíme <math>\mathbf{A}^{(1)}</math>,
Řádek 93:
: <math>\mathbf{A}^{(1,2,3)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&\mathbf{K}\\\hline0&0\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T.</math>
 
(1,2,3,4)-inverze je výše zmíněná Moore-PenroseovaMoore–Penroseova pseudoinverze.
 
V obecném případě je zřejmě (1,2,3,4)-inverze jediná zobecněná inverze z výše uvedených, která je dána jednoznačně.
Řádek 124:
Tato inverze zřejmě splňuje podmínky (1), (2), (5), je tedy grupovou inverzí, a nazývá se '''spektrální inverze'''.
 
Je-li navíc matice <math>\mathbf{A}</math> normální, tj. <math>\mathbf{A}^T\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{A}^T</math>, <math>\mathbf{P}^{-1}=\mathbf{P}^T</math> pak její spektrální inverze a Moore-PenroseovaMoore–Penroseova pseudoinverze splývají.
 
== Související články ==
Řádek 135:
== Externí odkazy ==
 
[http://mathworld.wolfram.com/Moore-PenroseMatrixInverse.html Moore-PenroseMoore–Penrose Inverse]
 
== Literatura ==
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Pseudoinverze_matice“