Náhodná veličina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
přesměrováno do "Náhodné veličiny" značka: přepnuto z Vizuálního editoru |
sloučeno z Náhodné veličiny zpět, autorka Marie Heroutová |
||
Řádek 1:
{{Upravit}}
'''Náhodná veličina''' (používají se i různé kombinace slov '''náhodná''', '''stochastická''' nebo '''náhodová''' a '''proměnná''' nebo '''veličina''') je libovolná [[veličina]], kterou je možné opakovaně měřit u různých objektů, v různých místech nebo v různém čase a její hodnoty podrobit zpracování metodami [[teorie pravděpodobnosti]] nebo [[Matematická statistika|matematické statistiky]]. Příkladem náhodné veličiny může být počet ok při vrhu kostkou, teplota naměřená na určitém místě ve stejnou hodinu v různých dnech, roční mzda jednotlivých občanů státu, apod.
== Formální definice ==
Nechť
* <math>(\Omega,\mathcal{F},P)</math> je [[pravděpodobnostní prostor]]; to znamená, že
** <math>\Omega</math> je libovolná [[neprázdná množina]] ([[Prostor elementárních jevů|množina elementárních jevů]]),
** <math>\mathcal{F}</math> je libovolný [[Potenční množina|systém podmnožin]] <math>\Omega</math>, který tvoří [[Sigma algebra|<math>\sigma</math>-algebru]], a
** <math>P</math> je [[pravděpodobnost]], čili [[Míra (matematika)|míra]] na <math>(\Omega,\mathcal{F})</math>, která je normovaná tak, že <math>P(\Omega) = 1</math>
* <math>(R,\mathcal{B})</math> je množina všech [[Reálné číslo|reálných čísel]] s borelovskou <math>\sigma</math>-[[Sigma algebra|algebrou]] podmnožin <math>\mathcal{B}</math>;
'''Náhodnou veličinou''' pak nazýváme každé [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] přiřazující [[Elementární jev|elementárnímu jevu]] [[reálné číslo]], tj. <math>X: \Omega \to R</math>, pokud je [[Měřitelná funkce|měřitelné]], t.j. pokud pro každou množinu <math>B \in \mathcal{B}</math> platí, že <math>\lbrace \omega; \omega \in \Omega, X(\omega) \in B \rbrace \in \mathcal{F}</math>.
Ekvivalentně platí, že <math>X</math> je náhodná veličina právě tehdy když pro každé reálné číslo <math>x</math> platí <math>\lbrace \omega; \omega \in \Omega, X(\omega) < x \rbrace \in \mathcal{F}</math> (nerovnost může být i neostrá nebo obrácená).
Náhodnou veličinu lze jednoduše charakterizovat jako veličinu, jejíž hodnoty závisí na náhodě. Odborná definice náhodné veličiny zní:
"Uvažujme výběrový prostor Ω přiřazený k výsledkům určitého pokusu. Náhodná veličina, kterou označíme ''X'', je funkce, která prvkům ω výběrového prostoru Ω přiřazuje [[reálná čísla]] ''x'', kde ''x = X (ω)''."
Náhodné veličiny se označují velkými písmeny latinské abecedy (např. ''X, Y'') a jejich hodnoty malými písmeny (např. ''x, y'').<ref name=":2">{{Citace monografie|příjmení = Kropáč|jméno = Jiří|příjmení2 = |jméno2 = |titul = Statistika.: náhodné jevy, náhodné veličiny, základy matematické statistiky, indexní analýza, regresní analýza, časové řady|vydání = 2.vydání|vydavatel = Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta podnikatelská, VUT v Brně|místo = |rok = 2012|počet stran = |strany = 138|isbn = 978-80-7204-788-8}}</ref>
== [[Náhodné veličiny]] [[Diskrétní rozdělení|diskrétního typu]] ==
V této kapitole jsou popsány [[Pravděpodobnost|pravděpodobnostní]] zákony rozdělení a základní charakteristiky diskrétních náhodných veličin. Rovněž zde budou uvedena některé důležitá rozdělení diskrétních náhodných veličin (binomické, hypergeometrické, geometrické a Poissonovo).
Definice náhodné veličiny diskrétního typu zní následovně:
"Náhodná veličina ''X'' je diskrétní, jestliže prvky výběrového prostoru Ω zobrazí na osu reálných čísel jako izolované body, označení ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …., x<sub>k</sub>'', přičemž každý z těchto bodů má nenulovou pravděpodobnost."
Diskrétní náhodná veličina tedy nabývá jen nezáporných celých hodnot, takže její hodnoty ''x<sub>k</sub>'' lze označovat pouze symbolem ''k''.
Mezi pravděpodobnostní zákony diskrétního rozdělení patří '''[[pravděpodobnostní funkce]]''', která nese označení ''P (X = x<sub>k</sub>)'', kde x<sub>k</sub> jsou její hodnoty v číslech. Platí, že ve výběrovém prostoru mají prvky součet svých pravděpodobností roven jedné, potom součet všech hodnot pravděpodobnostní funkce je také roven jedné, tj. ''∑P (X= x<sub>k</sub>)= 1''.
Dalším pravděpodobnostním zákonem rozdělení náhodné veličiny ''X'' je její '''[[distribuční funkce]]''', která se značí ''F (x)''. Ta je rovna pravděpodobnosti, s jakou náhodná veličina ''X'' nabude hodnot z intervalu ''(- ∞, x)'', tj. ''F (x)= P (X ≤ x )''.
Známe-li hodnoty pravděpodobnostní funkce, pak distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny lze získat součtem hodnot pravděpodobnostní funkce ''P (X= x)'' v bodech ''x<sub>k</sub>'', které leží v intervalu ''(- ∞, x)'', tj. ''F (x)= ∑P (X= x<sub>k</sub>)''.<ref name=":2" />
=== Střední hodnota, výběrový průměr, rozptyl, směrodatná odchylka ===
==== Střední hodnota ====
Jedna z nejdůležitějších charakteristik sloužící pro popis diskrétní náhodné veličiny je [[střední hodnota]] označená ''E (X)'', která je definovaná následujícím vzorcem:
<math>E(X)=\sum_{x_k}P(X=x_k). </math>
Výpočet se provádí tak, že se vynásobí hodnoty diskrétní náhodné veličiny jimi příslušnými hodnotami pravděpodobnostní funkce, a poté se tyto součiny sečtou. Rozlišujeme geometrickou a statistickou interpretaci střední hodnoty. '''Geometricky''' se střední hodnota znázorňuje jako bod na ose reálných čísel, na níž jsou hodnoty náhodné veličiny. Podle '''statistické interpretace''' představuje střední hodnota číslo, kolem něhož kolísají výběrové průměry vypočtené ze sérií pozorovaných hodnot náhodné veličiny.<ref name=":2" />
==== Výběrový průměr ====
[[Výběrový průměr]], který nese označení ''̅x'' , se počítá dle vzorce:
<math>\tilde{x}=\sum_{i=1}^n \frac{x_1}{n}, </math> ̅
kde ''x<sub>i</sub>'' jsou hodnoty náhodné veličiny ''X''
a ''n'' je počet pokusů.
Pokud opakujeme více sérií pokusu, docházíme ke zjištění, že výběrové průměry kolísají kolem střední hodnoty.<ref name=":2" />
==== Rozptyl (variance, disperze) ====
[[Rozptyl (statistika)|Rozptyl]] se značí ''D (X)'' a vyjadřuje velikost odchylek hodnot diskrétní náhodné veličiny ''X'' od její střední hodnoty, přičemž bere v úvahu, jak je pravděpodobnost v těchto bodech rozdělena. Rozptyl se vypočítá následovně:
<math>D(X)=\sum_{x_k}{x_k}^2P(X=x_k)- [E(X)]^2. </math>
Samotnou hodnotu rozptylu určíme tak, že vypočteme součiny kvadrátů hodnot diskrétní náhodné veličiny s jimi příslušnými hodnotami pravděpodobnostní funkce a potom součiny sečteme. Od získaného součtu odečteme kvadrát střední hodnoty.<ref name=":2" />
==== Směrodatná odchylka ====
Jelikož rozptyl má rozměr kvadrátu, je [[směrodatná odchylka]], značená ''σ (X)'' vhodnějším vyjádřením charakteristiky dané náhodné veličiny, protože se vypočítá jako odmocnina z rozptylu ''D (X)''.
<math>\sigma(X)=\sqrt{ D(X)}. </math>
Směrodatná odchylka vyjadřuje, o kolik je hodnota náhodné veličiny vzdálena od střední hodnoty.<ref name=":2" />
=== Vybraná [[diskrétní rozdělení]] ===
'''[[Alternativní rozdělení|Alternativní rozložení]]''' náhodných veličin, jakožto první druh rozložení diskrétního typu lze specifikovat jako rozložení náhodných veličin X, které udávají počet úspěchů v jednom pokusu. <ref name=":0">{{Citace monografie|příjmení = Budíková|jméno = Marie|příjmení2 = Králová|jméno2 = Mária|titul = Průvodce základními statistickými metodami|vydání = první|vydavatel = Grada|místo = Praha|rok = 2010|počet stran = 272|strany = |isbn = 978-80-247-3243-5}}</ref>
Toto rozdělení tedy skýtá možné dva výsledky pokusu (úspěch a neúspěch). Pokud jde o úspěch nabývá náhodná veličina hodnoty 1. Pokud se jedná o nepříznivý výsledek nabývá náhodná veličina hodnoty 0. <ref name=":1">ZÁKLADNÍ
TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY. In: ''Homen.vs.cz'' [online].
2015 [cit. 2015-03-09]. Dostupné
z: http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/KAP04/PRAV4.HTM</ref>
<math>P(A)=P(X=1)=p </math>
<math>P(A)=P(X=0)=1-p </math> <ref name=":1" />
'''[[Binomické rozdělení]]''' udává rozdělení náhodných veličin jako úspěchů v posloupnosti ''n'' opakovaných nezávislých pokusech. Pravděpodobnost výskytu jevu je zde stále stejná.<ref name=":0" />
Toto rozdělení tedy označujeme jako Bi (n,p), což naznačuje ''n'' náhodných pokusů při ''p'' [[Pravděpodobnost|pravděpodobnosti]] úspěchu v každém pokusu. <ref name=":1" />
<math>P[X=x] = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}</math>, kde x = 0, 1 <ref name=":1" />
Zde se vychází z ''Bernoulliova pokusu'', který spočívá v tom, že v daném náhodném pokusu mohou nastat pouze dva stavy: ''A, A'' s pravděpodobností ''p, 1 - p''.To lze modelovat tzv. ''binární náhodnou proměnnou Y'', pro kterou platí: ''P(Y = 1) = p'' a ''P(Y = 0) = 1 - p''. Platí: <ref name=":1" />
<math>E(Y)=1.p+0.(1-p)=p </math>
<math>D(Y)=E(Y-p)^2=p.(1-p)^2+(1-p)p^2=(1-p).p </math> <ref name=":1" />
Náhodná proměnná ''X'' vznikne jako součet ''n'' nezávislých binárních proměnných ''Y<sub>i</sub>'' s hodnotami 0 nebo 1, které mají všechny stejné rozdělení určené parametrem ''p'': <ref name=":1" />
Z tohoto vyplývají i určité charakteristiky tohoto rozdělení.
<math>\operatorname{E}(X)=np</math>
<math>\operatorname{D}(X) = np(1-p)</math> <ref name=":1" />
'''[[Hypergeometrické rozdělení]]''' Hg (N,M,n) předpokládá, že v souboru N prvků, je označeno M prvků, přičemž z n prvků vybíráme náhodně. Náhodná veličina zde tedy ukazuje počet vybraných prvků. Zápis pak vypadá takto: <ref name=":0" />
<math>\operatorname{P}(X=x) =
\begin{cases} {{{A \choose x} {{N-A} \choose {n-x}}}\over {N \choose n}} & \text{pro } x \in \langle \text{max} (0,A-N+n),..., \text{min} (A,n) \rangle \\
0 & \text{jinak.} \end{cases} </math>
Vlastnosti tohoto rozdělení tedy lze vyjádřit tímto způsobem:
<math>\operatorname{E}(X) = \frac{n \cdot A}{N}</math>
<math>\operatorname{D}(X) = n \frac{A}{N} \left(1 - \frac{A}{N} \right) \left(\frac{N-n}{N-1} \right) </math>
'''[[Poissonovo rozdělení]]''' uzavírá kapitolu diskrétních rozdělení náhodných veličin. Tento typ rozdělení udává svou náhodnou veličinou počet výskytů, jež nastanou v nějakém určitém časovém intervalu. Parametr delta vyjadřuje střední hodnotu výskytů v dané oblasti. Toto rozdělení se používá hlavně tam, kde je počet výskytů vzácný, neobvyklý. <ref name=":0" />
<math>P(X=x) = \frac{\lambda^x}{x!}\mathrm{e}^{-\lambda}</math> v daném jednotkovém úseku, kde x = 0,1,2,... ; <math> \lambda>0</math> je parametr. <ref name=":1" />
Vlastnosti rozdělení vypadají takto:
<math>E(X) = \lambda </math>
<math>D(X) = \lambda </math> <ref name=":1" />
== Náhodné veličiny spojitého typu ==
Následující kapitola se zabývá náhodnými veličinami spojitého typu, které jsou charakterizovány následovně:
Náhodná veličina X je spojitá, jestliže její hodnoty, přiřazené prvkům výběrového prostoru Ω, tvoří interval na ose reálných čísel, přičemž každý bod toho intervalu má nulovou pravděpodobnost.<ref name=":3">{{Citace monografie|příjmení = Kropáč|jméno = Jiří|příjmení2 = |jméno2 = |titul = Statistika A: náhodné jevy, náhodné veličiny, náhodné vektory, indexní analýza, rozhodování za rizika|vydání = 3. dopl. vyd.|vydavatel = Fakulta Podnikatelská, VUT v Brně|místo = Brno|rok = 2008|počet stran = 139|strany = |isbn = 978-80-214-3587-2}}</ref>
Pravděpodobnostním zákonem pomocí, kterého budeme spojitou náhodnou veličinu popisovat, je tzv. hustota pravděpodobností, označována ''f (x)'', která vypovídá o tom, jak jsou jednotlivé hodnoty spojité náhodné veličiny X „nahuštěny“ na ose reálných čísel v okolí bodu ''x''.
Další funkcí, které se pro popis spojité náhodné veličiny používá je funkce distribuční značená ''F (x)'', která je rovna [[Pravděpodobnost|pravděpodobnosti]] P ''(X≤x )''. Charakterizovat ji lze jako funkci, která při postupu po ose reálných čísel „sčítá“ pravděpodobnosti. Pomocí hustoty pravděpodobnosti vyjádříme spojitou náhodnou veličinu ''X'' integrálem<ref name=":3" />
<math>F(X)=\int_{-\infin}^{x}f(t)dt.</math>
Hustotu pravděpodobnosti v tomto [[Integrál|integrálu]], lze podle pravidel integrálního počtu určit jeho [[Derivace|derivací]]. Z toho vychází, že hustota pravděpodobnosti je rovna derivaci distribuční funkce tj.
<math>f(x)=F'(x).</math>
V bodě ''x'', kde derivace ''F´(x)'' neexistuje, přiřadíme hustotě pravděpodobnosti ''f(x)'' libovolnou hodnotu.
Hustota pravděpodobnosti splňuje podmínku
<math>\int_{-\infin}^{\infin}f(x)dx=1</math>
Integrál představuje geometricky plochu s jednotkovým obsahem, zdola ohraničenou osou reálných čísel a shora grafem hustoty pravděpodobností.
Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabude hodnoty z intervalu s hraničními body ''x<sub>1</sub>'' a ''x<sub>2</sub>'' , kde x<sub>1</sub>< x<sub>2</sub>, lze vypočítat buď pomocí její hustoty pravděpodobnosti nebo pomocí její distribuční funkce pomocí vzorců
<math>P(x_1< X \leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt=F(x_2)-F(x_1).</math>
K popisu spojité náhodné veličiny používáme číselné charakteristiky, obdobné náhodným veličinám diskrétního typu. Nejdůležitější charakteristikou náhodné veličiny je střední hodnota, označená E(X), která je definována integrálem
<math>E(X)=\int_{-\infin}^{\infin}xf(x)dx.</math>
Střední hodnota spojité náhodné veličiny má stejný význam jako u diskrétní náhodné veličiny.
Další charakteristikou spojité náhodné veličiny je [[Rozptyl (statistika)|rozptyl]], označovaný D(X), který lze vypočítat takto
<math>D(X)=\int_{-\infin}^{\infin}x^2f(x)dx-[E(X)]^2.</math>
K popisu hodnot rozptýlení spojité náhodné veličiny ''X'' se používá častěji směrodatná odchylka, označená ''σ(X)'', neboť má stejný rozměr jako náhodná veličina ''X'', kdežto rozptyl má rozměr kvadrátu této veličiny. [[Směrodatná odchylka]] je definována takto:
<math>\sigma(X)=\sqrt{D(X)}.</math>
Mezi další charakteristiky, které udávají, jak jsou náhodné veličiny ''X'' rozděleny na ose reálných čísel v určitém pravděpodobnostním poměru jsou [[Kvantil|kvantily]]. Definovat je lze takto: 100p%-ním kvantilem spojité náhodné veličiny X nazveme reálné číslo, označené x<sub>p</sub> kdy pro ''p'' platí ''F(xp) = p''. Význam kvantilu spočívá v tom, že reálnou osu, na níž jsou hodnoty náhodné veličiny ''X'' rozloženy, rozdělí na dva intervaly. K nejdůležitějším kvantilům patří [[medián]], což je 50%-ní kvantil. Medián se používá tehdy, když náhodná veličina nemá definovanou střední hodnotu.<ref name=":3" />
=== Důležitá spojitá rozdělení ===
V této kapitole si uvedeme některá důležitá rozdělení náhodné veličiny spojitého typu, a to, rovnoměrné, normální, exponenciální a lognormální<ref name=":3" />.
==== [[Rovnoměrné rozdělení]] ====
Spojitá náhodná veličina ''X'' má ''rovnoměrné rozdělení'', jestliže její hustota pravděpodobnosti ''f (x)'' a distribuční funkce ''F (x)'' jsou zadány předpisy:
<math>\operatorname{f}(x) =
\begin{cases} {1\over {b-a}} & \text{pro } x \in \langle \text{a}, b \rangle, \\
0 & \text{jinak.} \end{cases}, F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{pro }x <\mbox{a}, \\ {x-a\over {b-a}}, &
\mbox{pro }x\in \langle \text{a}, b \rangle, \\ 1, & \mbox{pro }x >\mbox{b}.\end{matrix}\right. </math>
Rovnoměrným rozdělením se řídí takové náhodné veličiny, pro něž pravděpodobnost padnutí do jistého podintervalu zadaného intervalu ''〈a,b〉'' je úměrná délce tohoto podintervalu a nezávisí na jeho umístění v intervalu ''〈a,b''〉. Rovnoměrné rozdělení popisuje např. chyby při zaokrouhlování čísel, doby čekání na uskutečnění jevu, který se může vyskytnout v časových intervalech pevně stanovené délky, apod<ref name=":3" />.
[[Střední hodnota]] a [[Rozptyl (statistika)|rozptyl]] rovnoměrného rozdělení jsou:
<math>E(X)=\frac{a+b}{2},\ D(X)=\frac{(a+b)^2}{12}. </math>
Hustota pravděpodobnosti a [[distribuční funkce]] náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením:
[[File:Rovnomerne rozdeleni hustota.svg|none|thumb|300x300px|Hustota pravděpodobnosti]]
[[File:Rovnomerne rozdeleni distribucni fce.svg|none|thumb|300x300px|Distribucni funkce]]
==== [[Normální rozdělení]] ====
Spojitá náhodná veličina ''X'' má ''normální rozdělení'' s parametry ''µ'' a ''σ'', což označujemeN (''µ,σ<sup>2</sup>''), jestliže její hustota pravděpodobnosti ''f (x)'' a distribuční funkce ''F (x)'' pro ''x'' ∈ (-∞,∞) dány předpisy:
<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, F(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infin}^{x} e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}\mathrm{d}t}.</math>
Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení jsou:
<math>E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2. </math>
Křivka znázorňující hustotu pravděpodobnosti normálního rozdělení se nazývá ''[[Gaussova křivka]]''. Charakteristickými rysy této křivky je to, že je symetrická kolem svislé přímky procházející bodem ''μ'', v němž má funkce ''f (x)'' globální maximum, a ve vzdálenostech 3σ vlevo a vpravo od bodu ''μ'' se téměř dotýká osy ''x''<ref name=":3" />.
Graf distribuční funkce F (x) normálního rozdělení a Gaussova křivka:
[[File:Cumulative distribution function for normal distribution, mean 0 and sd 1.png|none|thumb|300x300px|Distribuční funkce]]
[[File:Gaussian curve.svg|none|thumb|300x300px|Gaussova křivka]]
Normální rozdělení je nejdůležitější spojitým rozdělením, protože jej mají mnohé náhodné veličiny. Např. chyby měření, rozměry výrobků při hromadné výrobě, mnohé jevy ve fyzice, v biologii a medicíně apod. Obecně lze říci, že je použitelné všude tam, kde hodnoty náhodné veličiny jsou ovlivněny působením velkého počtu nepatrných vzájemně nezávislých nebo slabě závislých náhodných vlivů. Jeho význam spočívá také v tom, že se jím dají za určitých podmínek [[Aproximace|aproximovat]] i jiná rozdělení, jak diskrétních, tak i spojitých náhodných veličin.
Při výpočtech úloh se spojitými náhodnými veličinami, které mají normální rozdělení, se tato rozdělení liší svými parametry ''µ'' a ''σ''. Pro usnadnění výpočtů je vhodné tyto náhodné veličiny normovat, což provedeme tak, že od hodnot náhodné veličiny odečteme její střední hodnotu µ a rozdíl dělíme směrodatnou odchylkou ''σ''. Dostaneme tak ''normovanou'' ''náhodnou veličinu'', označenou ''U'', kde <math>U=\frac{X-\mu}{\sigma}. </math>
Jestliže náhodná veličina ''X'' má normální rozdělení N ''(µ,σ<sup>2</sup>)'', pak jejím normování dostaneme náhodnou veličinu ''U'', mající tzv. ''normované normální rozdělení'', které označíme N(0,1). Tedy náhodná veličina ''U'' má střední hodnotu rovnu nule a rozptyl roven jedné.
Distribuční funkce normované náhodné veličiny U, kterou označíme FN(u), je pak vyjádřena integrálem:
<math>F_N(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{u} e^\frac{t^2}{2}\, \mathrm{d}t. </math>
Často řešenou úlohou je určení pravděpodobnosti, že náhodná veličina ''X'' s normálním rozdělením N(''µ,σ<sup>2</sup>'') nabude některé hodnoty z intervalu, jehož krajní body jsou ''x<sub>1</sub>'' a ''x<sub>2</sub>''. Tuto pravděpodobnost lze vypočíst pomocí vzorce:
<math>P(x_1 < X < x_2)=F_N\left( \frac{x_2-\mu}{\sigma} \right)+F_N \left( \frac{x_1-\mu}{\sigma} \right). </math>
Protože náhodná veličina X je spojitá, nezáleží tato pravděpodobnost na tom, zda krajní body intervalu do výpočtu zahrneme nebo nezahrneme.
K důležitým vlastnostem náhodné veličiny, mající normální rozdělení, patří tzv. [[pravidlo tří sigma]], podle něhož je 99,73% jejích hodnot v intervalu ''(μ-3σ,μ+3σ).'' Tedy v tomto intervalu jsou prakticky všechny její hodnoty. Pravidlo tří sigma odvodíme s použitím vzorce takto<ref name=":3" />:
<math display="block">P(\mu-3\sigma\le X \le \mu-3\sigma)=F_N(3)-F_N(-3)=2F_N(3)-1=0,9973. </math>
==== [[Exponenciální rozdělení]] ====
Spojitá náhodná veličina ''X'' má ''exponenciální rozdělení'' s parametry A a δ, což označujeme E(''A,δ''), kde δ > 0, jestliže její hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce jsou dány předpisy<ref name=":3" />:
<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {1}{\delta}e^\frac{x-A}{\delta}, & \mbox{pro }x>A, \\ 0, &
\mbox{pro }\mbox{ jiná x},\end{matrix}\right.
F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^\frac{x-A}{\delta}, & \mbox{pro }x>A, \\ 0, &
\mbox{pro }\mbox{ jiná x}.\end{matrix}\right.
</math>
Graf hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce:
[[File:Exponencialni rozdeleni hustota.svg|none|thumb|400x400px|Hustota pravděpodobnosti]]
[[File:Exponencialni rozdeleni distribucni fce.svg|none|thumb|400x400px|Distribucni funkce]]
Střední hodnota a rozptyl exponenciálního rozdělení jsou:
<math>E(X)=A+\delta, D(X)=\delta ^2 </math>
Význam parametru ''A'' je v tom, že před touto hodnotou se hodnoty náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením nemohou vyskytnout.
Exponenciální rozdělení se používá především v teorii hromadné obsluhy, v [[Teorie spolehlivosti|teorii spolehlivosti]], atd. Náhodnou veličinou X bývá obvykle doba, během níž nastane sledovaný jev, např. doby mezi poruchami přístroje, doby mezi příchody zákazníků do opravny, atd. V některých případech, např. čekání na poruchu přístroje, se náhodná veličina X nazývá „dobou života“ tohoto přístroje.
Exponenciální rozdělení bývá někdy nazýváno ''rozdělením bez paměti'', což lze vyjádřit následovně: Pravděpodobnost, že zařízení, které pracovalo bez poruchy po dobu ''a'', bude pracovat bez poruchy ještě další dobu ''x'', je rovna pravděpodobnosti, že zařízení, které dosud nebylo v provozu, bude pracovat bez poruchy aspoň ''x'' hodin, tj. jakoby „zapomnělo“ již odpracovanou dobu. Pro ''A = 0'' lze vyjádřit tuto vlastnost vyjádřit následovně<ref name=":3" />:
<math>P(X >a+x|X>a)= P(X>x) </math>
Exponenciální rozdělení je z těchto důvodů vhodné k popisu rozdělení doby života těch zařízení, u nichž dochází k poruše ze zcela náhodných vnějších příčin, nikoliv např. vlivem stárnutí materiálu.
==== [[Logaritmicko-normální rozdělení]] ====
Logaritmicko-normální rozdělení (stručně ''lognormální rozdělení'') spojité náhodné veličiny se používá např. při popisu velikosti škody při živelných událostech a různých haváriích a jako model pro rozdělení velikosti platů v některých organizacích.
Spojitá náhodná veličina ''X'' má lognormální rozdělení s parametry ''µ'' a ''σ'', což označujeme LN(''µ,σ<sup>2</sup>''), jestliže její hustota pravděpodobnosti ''f(x'') a distribuční funkce ''F(x)'' jsou pro x> 0 dány předpisy<ref name=":3" />:
<math>f(x)=\frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{{(lnx-\mu)}^2}{2\sigma^2}}, F(X)=F_N \left (\frac{lnx-\mu}{\sigma} \right). </math>
[[File:Some log-normal distributions.svg|thumb|250x250px|Hustoty log-normálního rozdělení]]
Střední hodnota a rozptyl lognormálního rozdělení jsou:
<math>E(X)=e ^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}, D(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1). </math>
Známe-li hodnoty ''E(X)'' a ''D(X)'' lognormálního rozdělení, pak parametry µ a σ tohoto rozdělení lze určit pomocí vzorců:
<math>\sigma^2= \mbox{ ln } \left [ 1 + \frac{D(X)}{\left [E(X)\right ]^2} \right ]; \mu=\mbox{ ln }E(X)-\frac{ \sigma^2 }{ 2 }. </math>
== Využití náhodných veličin v marketingu ==
V prvé řadě nutno podotknout, že využití [[statistika|statistiky]] jako celku je velmi významné obzvláště při [[Marketingový výzkum|marketingovém výzkumu]]. Pokud firma pracuje v rámci organizace se svým vlastním marketingovým informačním systémem, je umění práce s informacemi do něj vstupujícími i vystupujícími, zcela klíčové. Výstupy tohoto systému je nejlépe popisovat statisticky. Jedním z nejdůležitějších prvků MIS je právě marketingový výzkum, který pracuje se sběrem, analýzou a vyhodnocováním dat, které popisují marketingovou situaci.
Výzkumy jsou většinou založené na bádání po náhodných veličinách a jejich rozdělení. Důležité je v tomto směru samozřejmě zobecňovat výsledky na bázi pravděpodobností, které vypovídají o minulých trendech ale i předvídání budoucích.
== Reference ==
<references />
== Související články ==
Řádek 4 ⟶ 219:
* [[Náhodný jev]]
* [[Matematická statistika]]
{{Portály|Matematika}}
| |||