Verze z 7. 5. 2014, 09:14 editovat JAnDbot (diskuse \| příspěvky) Roboti 1 711 609 editací m Náhrada šablon {{Hlavní článek}} -> {{Viz též}}; kosmetické úpravy ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 11. 3. 2015, 14:40 editovat zrušit editaci 212.96.177.50 (diskuse) 'd' se nepise kurzivou značka: editace z Vizuálního editoru Přejít na další porovnání →
Řádek 8: '''Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy''' během časového úseku od ''t<sub>1</sub>'' do ''t<sub>2</sub>''. Pokud polohu v závislosti na čase označíme <math>x(t)\,\!</math>, platí tedy ::: <math>x(t_2)-x(t1) = \int\limits_{t_1}^{t_2}v(t) \,dt\mathrm{d}t\,\!</math> Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí Řádek 18: '''Příklad''': Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je <math>v(t) = -g.t\,\!</math>, kde <math>g\,\!</math> je [[tíhové zrychlení]] a znaménko mínus vyjadřuje směr dolů. Pro polohu pak platí: ::<math>x(t) = \int v(t)dt\,\mathrm{d}t \,=\, \int -g.t\, dt\mathrm{d}t = -\frac12 g t^2 + c \,\!</math> Číslo <math>c \,\!</math> se nazývá '''integrační konstanta''', za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce <math>x(t) = -\frac 12 g t^2 + 50 \,\!</math> popisuje volný pád z výšky 50 metrů. '''Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu.''' Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit <math>x(t) = -\frac 12 g t^2 \,\!</math> ) a spočteme její rozdíl v obou časových mezích: :::<math> \int\limits_{3}^{5} -g.t \, dt\mathrm{d}t\,\! = x(5) - x(3) = -\frac 12 g 5^2 - (-\frac 12 g 3^2) = -8.g</math> === Plocha pod křivkou === Řádek 33: == Značení == Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem ''S'' (z [[latina\|latinského]] ''summa''). Toto značení vytvořil [[Gottfried Wilhelm Leibniz\|Gottfried Leibniz]]. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako <math>\int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x</math>, kde znaménko ∫ značí integrování, ''a'' a ''b'' jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), ''dx'' označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo [[infinitezimální hodnota\|infinitezimální hodnotu]], dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu). Písmeno <math display="inline">\mathrm{d}</math> se narozdíl od proměnné nepíše kurzívou. == Definice == Pro některé funkce integrál nemusí existovat (například Newtonův nebo Riemannův integrál z [[Dirichletova funkce\|Dirichletovy funkce]]), nebo může být nekonečný, například :::<math>\int\limits_0^1\frac{1}{x}dx\, \mathrm{d}x \,=\, +\infty\,\!</math> Existuje mnoho definic určitého integrálu. Tyto definice se liší množinou funkcí, které jsou podle nich integrovatelné, ale pokud pro několik definicí funkce integrovatelná je, pak je hodnota integrálu stejná. Řádek 44: {{Viz též\|Newtonův integrál}} <math>\int\limits_a^bf(x)dx\,\mathrm{d}x \,=\, F(b) - F(a) \,\!</math> pro libovolnou [[Primitivní funkce\|primitivní funkci]] <math>F\,\!</math>, tj. pro takovou <math>F\,\!</math>, jejíž derivace je rovna <math>f\,\!</math> na celém intervalu <math><a,b>\,\!</math> === Zobecněný Newtonův integrál === Řádek 85: Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné [[Limita funkce\|limity]], například u spodní meze takto (''F'' je primitivní funkce k ''f''): :::<math>\int\limits_a^b f(x)dx\,\mathrm{d}x = \lim_{t\to a+}\int\limits_t^b f(x)dx\,\mathrm{d}x \,\!</math> Například <math>\int\limits_0^1\frac ~~1xdx~~1x\,\mathrm{d}x=+\infty, \,\, \int\limits_0^1\frac 1{\sqrt x}dx\,\mathrm{d}x=2\,\!</math> Podobně je tomu, pokud některá z mezí leží v nekonečnu: :::<math>\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\,\mathrm{d}x = \lim_{t\to +\infty}\int\limits_a^t f(x)dx\,\mathrm{d}x \,\!</math> Například <math>\int\limits_1^{+\infty}\frac ~~1xdx~~1x\,\mathrm{d}x=+\infty, \,\, \int\limits_1^{+\infty}\frac 1{x^2}dx\,\mathrm{d}x=1\,\!</math> == Komplexní integrál ==

Určitý integrál: Porovnání verzí