Lineární kombinace: Porovnání verzí

:<math> f(x) = (3x+2)^2.</math>

Předpis této funkce lze zřejmě rozepsat jako <math>\scriptstyle 9 x^2 + 12 x + 4</math>. Tuto funkci tak můžeme chápat jako lineární kombinaci funkcí <math>\scriptstyle g_1(x) = x^2, g_2(x)=x, g_3(x)=1</math> s koeficienty <math>\scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 12, \alpha_3 = 4</math>. Tutéž funkci ale můžeme současně chápat i jako lineární kombinaci funkcí <math>\scriptstyle h_1(x) = x^2, h_2(x)= 3 x + 1</math> s koeficienty <math>\scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 4</math>, nebo dokonce jako lineární kombinaci funkcí

pokud funkce reálné proměnné chápeme jako funkce dvou reálných proměnných, v nichž se druhá proměnná nevyskytuje. Pro posledně jmenované funkce pak dostáváme koeficienty lineární kombinace <math>\scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 4, \alpha_3 = 1</math>, neboť po zpětném dosazení dostáváme rovnost

:<math> \alpha_1 G_1(x,y) + \alpha_2 G_2(x,y) + \alpha_3 G_3(x,y) = 9 \left( (x+y)^2 + \frac{4}{9} \sin^2 (x) \right) + 4 \Big( \cos^2 (x) \Big) + 1 \Big( 6 x (2 - 3 y) - 9 y^2 \Big) = 9 x^2 + 18 xy + 9 y^2 + 4 \sin^2 (x) + 4 \cos^2 (x) + 12 x - 18 xy - 9 y^2 = 9 x^2 + 4 + 12 x = (3 x + 2)^2 = f(x),</math>