Tichonovova věta: Porovnání verzí

Volme <math>\,\mathcal{P})_\alpha=\{G\subseteq X_\alpha;\;\Pi^{-1}_\alpha(G)\in\mathcal{P}\}</math> pro každé <math>\,\alpha\in A</math>. Pak zřejmě alespoň jeden ze systémů <math>\mathcal{P}_\alpha</math> pokrývá <math>\,X_\alpha</math>, neboť jinak zvolíme-li pro každé <math>\,\alpha\in A x_\alpha</math> takové, že není v žádné množině z <math>\mathcal{P}_\alpha</math>, neleží <math>(x_\alpha)_{\alpha\in A}\in\prod_{\alpha\in A} X_\alpha</math> v žádné množině z <math>\mathcal{P}</math> (to plyne triviálně z <math>\mathcal{P}\subseteq S</math>), což je spor s tím, že <math>\mathcal{P}</math> je pokrytí součinu. Tedy máme <math>\alpha</math> takové, že <math>\,\mathcal{P}_\alpha</math> pokrývá <math>\,X_\alpha</math>. Pak z kompaktnosti <math>\,X_\alpha</math> existují <math>G_1,\ldots,G_k\in\mathcal{P}_\alpha</math>, že <math>\bigcup_{i=1}^k G_i = X_\alpha</math>, pak

<math>\Pi^{-1}_\alpha(G_1),\ldots,\Pi^{-1}_\alpha(G_k)\in\mathcal{P}</math> a zřejmě <math>\bigcup_{i=1}^k \Pi^{-1}_\alpha(G_i)=\prod_{\alpha\in A} X_\alpha</math>, tedy jsme nalezli konečné podpokrytí <math>\mathcal{P}</math>, což jsme potřebovali.

 

== Reference ==