Lineární nezávislost: Porovnání verzí

:<math> 2 \vec{x}_1 + \vec{x}_2 = \vec{0},</math>

který je speciálním případem tzv. [[lineární kombinace]] vektorů. Obecně lze lineární kombinaci dvou vektorů vyjádřit ve tvaru <math>\scriptstyle \alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x}_2</math>. V našem případě lze tedy výše uvedenou rovnost přepsat jako

 

Koukněme se nyní na druhý obrázek, kde jsme první vektor pozměnili tak, že jsme mu přepsali jeho druhou složku, máme nyní tedy

:<math> \alpha \vec{x}_1 = \beta \vec{x}_2,</math>

kde <math>\scriptstyle \alpha, \beta \in \mathbb{R}</math> jsou čísla, která bychom chtěli najít, aby platila rovnost. Když bychom vydělili tuto rovnost číslem <math>\scriptstyle \beta</math>, tak opět dostáváme výraz, o kterém jsme už viděli, že nemůže nastat. Vyjadřoval by totiž, že vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_2</math> je násobkem vektoru <math>\scriptstyle \vec{x}_1</math>. Co ale, když číslem <math>\scriptstyle \beta</math> dělit nemůžeme? To nastává tehdy, je-li <math>\scriptstyle \beta = 0</math>. Máme tak rovnost <math>\scriptstyle \alpha \vec{x}_1 = \vec{0}</math>, kterou ale můžeme vždy splnit tak, že položíme <math>\scriptstyle \alpha = 0</math>. Když si nyní přeznačíme naše koeficienty jako <math>\scriptstyle \alpha_1 = \alpha</math> a <math>\scriptstyle \alpha_2 = -\beta</math>, tak můžeme podobně jako pro první obrázek psát

Lineární kombinaci, která má všechny koeficienty nulové, se říká [[triviální lineární kombinace]]. V opačném případě se lineární kombinace nazývá [[netriviální lineární kombinace|netriviální]].

 

 

První případ by šlo popsat tak, že oba vektory byly závislé v tom smyslu, že z jednoho jsme byli schopni vhodnou úpravou dostat vektor druhý. Ve druhém případě ale už takovou úpravu provézt nešlo a vektory byly v tomto smyslu nezávislé. Tato úvaha nás vede na obecnou definici lineární nezávislosti potažmo závislosti, nyní již pro libovolný (nenulový konečný) počet vektorů obecných vektorových prostorů. Místo lineárních kombinací pouze dvou vektorů už tak musíme uvažovat lineární kombinace obecného tvaru

kde <math>\scriptstyle \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k</math> jsou prvky [[těleso (algebra)|tělesa]], nad kterým je [[vektorový prostor]] definován.