Lineární nezávislost: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Přidán další příklad |
→Příklad 2 - Polynomy: Přidán text |
||
Řádek 188:
=== Příklad 2 - Polynomy ===
Vektorové prostory mohou být ale rozmanitější, než jen ty s ''n''-ticemi čísel. Vektorovým prostorem je například i množina všech [[polynom]]ů. Vezměme
:<math> p_1(x) = x^3, \quad p_2(x) = x - 1,\quad p_2(x) = x^2 + x, \quad p_2(x) = 2.</math>
Jako u aritmetických vektorů uvažujme tedy nejprve jejich obecnou lineární kombinaci, kterou položíme rovnou nulovému vektoru, což je v našem případě [[nulový polynom]]. To jest
:<math> 0 = \alpha_1 p_1(x) + \alpha_2 p_2(x) + \alpha_3 p_3(x) + \alpha_4 p_4(x) = \alpha_1 (x^3) + \alpha_2 (x-1) + \alpha_3 (x^2 + x) + \alpha_4 (2).</math>
Shlukneme-li si čísla k jednotlivým mocninám [[nezávisle proměnná|nezávisle proměnné]], dostáváme
:<math> \alpha_1 x^3 + \alpha_3 x^2 + (\alpha_2 + \alpha_3) x + (2 \alpha_4 - \alpha_2) = 0.</math>
Máme nyní rovnost, kde na jedné straně vystupuje jistý polynom třetího stupně a na straně druhé je pak nulový polynom, nulová funkce. Tuto rovnost je třeba chápat tak, že musí být splněna pro všechny hodnoty, kterých může nezávisle proměnná nabývat, tj. pro všechna reálná <math>\scriptstyle x</math>. Dosaďme pár konkrétních hodnot proměnné <math>\scriptstyle x</math> a snažme se z toho něco zjistit o koeficientech v rovnosti výše. Když položíme postupně <math>\scriptstyle x=0, x =1, x=-1, x=2</math>, tak se rovnost redukuje do tvaru
:<math>
\begin{align}
x=0: \quad & - \alpha_2 + 2 \alpha_4 & = & \ 0, \\
x=1: \quad & \alpha_1 + 2 \alpha_3 + 2 \alpha_4 & = & \ 0, \\
x=-1: \quad & -\alpha_1 - 2 \alpha_2 + 2 \alpha_4 & = & \ 0, \\
x=2: \quad & 8 \alpha_1 + \alpha_2 + 6 \alpha_2 + 2 \alpha_4 & = & \ 0.
\end{align}
</math>
Z prvních tří rovnic není těžké odvodit vztahy <math>\scriptstyle \alpha_1 = - \alpha_2 = -2 \alpha_4</math> a <math>\scriptstyle \alpha_3 = 0</math>. Když tyto dosadíme do rovnice čtvrté, tak obdržíme <math>\scriptstyle \alpha_4 = 0</math>. Po zpětném dosazení tedy vidíme, že jsou všechny koeficienty nulové a dané polynomy <math>\scriptstyle p_1, p_2, p_3, p_4</math> jsou lineárně nezávislé. K tomuto zjištění jsme nemuseli procházet celou reálnou osu, ale stačilo dosadit čtyři konkrétní hodnoty nezávisle proměnné.
Mohli jsme ale vidět rovnou, že jsou dané koeficienty nulové. Na rovnici
:<math> \alpha_1 x^3 + \alpha_3 x^2 + (\alpha_2 + \alpha_3) x + (2 \alpha_4 - \alpha_2) = 0</math>
se totiž můžeme dívat ve tvaru
:<math> \alpha_1 x^3 + \alpha_3 x^2 + (\alpha_2 + \alpha_3) x + (2 \alpha_4 - \alpha_2) = 0 x^3 + 0 x^2 + 0 x + 0.</math>
Polynom na levé straně rovnosti je roven nulovému polynomu, ten má ale všechny koeficienty u svých mocnin nulové. Dostali bychom tak porovnáním odpovídajících koeficientů rovnou rovnice (levý sloupec v následující tabulce označuje mocninu, u které dané koeficienty v předchozí rovnici vystupují)
:<math>
\begin{align}
x^3: \quad & \alpha_1 & = & \ 0, \\
x^2: \quad & \alpha_3 & = & \ 0, \\
x: \quad & \alpha_2 + \alpha_3 & = & \ 0, \\
1: \quad & 2 \alpha_4 - \alpha_2 & = & \ 0.
\end{align}
</math>
Tato soustava rovnic má zřejmě řešení <math>\scriptstyle \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 0</math>.
=== Příklad 3 - Komplexní funkce ===
| |||