Lineární nezávislost: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Vlastnosti: Přidány další vlastnosti |
→Vlastnosti: Přidány další vlastnosti |
||
Řádek 87:
kde <math>\scriptstyle \{ \ldots \}_\text{lin}</math> značí [[lineární obal]].
:''Důkaz'': Dokažme nejdříve implikaci zleva doprava, tj. mějme lineárně závislý soubor. Existuje tedy netriviální lineární kombinace tohoto souboru dávající nulový vektor, neboli <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i = 0,</math> kde je alespoň jeden koeficient nenulový. Označme si ho <math>\scriptstyle \alpha_{i_0}</math>. Pak můžeme psát
:<math> \alpha_{i_0} \vec{x}_{i_0} + \sum_{i=1, i \neq i_0}^n \alpha_i \vec{x}_i = 0.</math>
Nyní můžeme sumu výše převézt na druhou stranu rovnosti. Protože je <math>\scriptstyle \alpha_{i_0}</math> nenulový, můžeme jím dělit a dostáváme tak vyjádření pro vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_{i_0}</math> pomocí zbylých vektorů
:<math> \vec{x}_{i_0} = \frac{1}{\alpha_{i_0} } \sum_{i=1, i \neq i_0}^n \alpha_i \vec{x}_i.</math>
Pro důkaz opačné implikace předpokládejme, že lze jistý vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_{i_0}</math> vyjádřit jako lineární kombinaci zbylých vektorů ve tvaru
:<math> \vec{x}_{i_0} = \sum_{i=1, i \neq i_0}^n \alpha_i \vec{x}_i.</math>
Když si vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_{i_0}</math> ale převedu na pravou stranu rovnosti, tak rázem dostávám netriviální lineární kombinaci původního souboru vektorů, která dává nulový vektor (konkrétně <math>\scriptstyle \alpha_{i_0} = -1</math>). Soubor je tak lineárně závislý.
Přímým důsledkem právě dokázané věty je následující tvrzení:
Řádek 94 ⟶ 100:
:<math> \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_{i_0 - 1}, \vec{x}_{i_0 + 1}, \ldots, \vec{x}_n \}_\text{lin}.</math>
:''Důkaz'': Zřejmý z předchozího tvrzení a druhého tvrzení v oddíle [[Lineární obal#Ostatní|Ostatní vlastnosti]] v článku [[Lineární obal]].
=== Ostatní ===
Řádek 110 ⟶ 116:
:<math> \sum_{i=1}^k \beta_i \vec{x}_i = \vec{0}</math>
když položíme <math>\scriptstyle \beta_{k_i} \equiv \alpha_i</math> pro <math>\scriptstyle i \in \hat{l}</math> a <math>\scriptstyle \beta_j = 0</math> jinak.
* Nechť <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> je lineárně závislý soubor ''n'' vektorů. Pak buď <math>\scriptstyle \vec{x}_1 = \vec{0}</math> nebo <math>\scriptstyle n \geq 2</math> a existuje <math>\scriptstyle i_0 \in \{2, \ldots, n \}</math> takové, že
:<math> \vec{x}_{i_0} \in \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_{i_0 - 1} \}_\text{lin},</math>
kde <math>\scriptstyle \{ \ldots \}_\text{lin}</math> značí [[lineární obal]].
:''Důkaz'': Z prvního tvrzení této sekce plyne, že pro <math>\scriptstyle \vec{x}_1 \neq \vec{0}</math> musí být již nutně <math>\scriptstyle n \geq 2</math>, jinak by byl soubor lineárně nezávislý. Máme teď tedy lineární kombinaci <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i = \vec{0}</math> s alespoň jedním koeficientem nenulovým. Abychom dokončili důkaz věty, tak musíme ukázat, že alespoň jeden nenulový je nějaký z koeficientů <math>\scriptstyle \alpha_2, \ldots, \alpha_n</math>. Pro spor předpokládejme, že <math>\scriptstyle (\forall i \in \{2, \ldots, n \})(\alpha_i = 0)</math>. Pak ale
:<math> \vec{0} = \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i = \alpha_1 \vec{x}_1.</math>
Protože ale <math>\scriptstyle \vec{x}_1 \neq \vec{0}</math>, musí být <math>\scriptstyle \alpha_1 = 0</math>. Jenže to by znamenalo, že jsou úplně všechny koeficienty lineární kombinace nulové, což je spor s tím, že jsme původně volili netriviální lineární kombinaci. Máme tak dokázáno, že mezi koeficienty <math>\scriptstyle \alpha_2, \ldots, \alpha_n</math> je alespoň jeden nenulový. Vezměme tedy ten, který má ze všech koeficientů největší index. Označme si ho <math>\scriptstyle \alpha_{i_0}</math>. Postupem stejným jako v důkaze prvního tvrzení sekce [[Lineární nezávislost#Alternativní definice|Alternativní definice]] si vyjádříme vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_{i_0}</math> pomocí vektorů ostatních. Ty mají všechny menší index než <math>\scriptstyle i_0</math>. Dostáváme tak tvrzení věty.
== Příklady ==
| |||