Lineární kombinace: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
mBez shrnutí editace |
→Příklady: Přidány příklady |
||
Řádek 88:
== Příklady ==
=== Příklad 1 — Aritmetické vektory ===
=== Příklad 2 — Spojité funkce ===
V oddíle [[Lineární kombinace#Geometrická interpretace|Geometrická interpretace]] a v předchozím příkladě jsme viděli vytváření lineárních kombinací aritmetických vektorů. Množiny tohoto druhu vektorů, ''n''-tic čísel, jsou patrně nejčastějšími příklady vektorových prostorů. Vektorové prostory jsou ale mnohem rozmanitější, můžeme například uvažovat vektorový prostor všech [[spojitá funkce|spojitých funkcí]] reálné proměnné.
Mějme například funkci
:<math> f(x) = (3x+2)^2.</math>
Předpis této funkce lze zřejmě rozepsat jako <math>\scriptstyle 9 x^2 + 12 x + 4</math>. Tuto funkci tak můžeme chápat jako lineární kombinaci funkcí <math>\scriptstyle g_1(x) = x^2, g_2(x)=x, g_3(x)=1</math> s koeficienty <math>\scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 12, \alpha_3 = 4</math>. Tutéž funkci ale můžeme současně chápat i jako lineární kombinaci funkcí <math>\scriptstyle h_1(x) = x^2, h_2(x)= 3 x + 1</math> s koeficienty <math>\scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 4</math>, nebo dokonce jako lineární kombinaci funkcí
:<math> G_1(x,y) = (x+y)^2 + \frac{4}{9} \sin^2 (x), \quad G_2(x,y) = \cos^2 (x), \quad G_3(x) = 6 x (2 - 3 y) - 9 y^2</math>
pokud funkce reálné proměnné chápeme jako funkce dvou reálných proměnných, v nichž se druhá proměnná nevyskytuje. Pro posledně jmenované funkce pak dostáváme koeficienty lineární kombinace <math>\scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 4, \alpha_3 = 1</math>, neboť po zpětném dosazení dostáváme rovnost
:<math> \alpha_1 G_1(x,y) + \alpha_2 G_2(x,y) + \alpha_3 G_3(x,y) = 9 \left( (x+y)^2 + \frac{4}{9} \sin^2 (x) \right) + 4 \Big( \cos^2 (x) \Big) + 1 \Big( 6 x (2 - 3 y) - 9 y^2 \Big) = 9 x^2 + 18 xy + 9 y^2 + 4 \sin^2 (x) + 4 \cos^2 (x) + 12 x - 18 xy - 9 y^2 = 9 x^2 + 4 + 12 x = (3 x + 2)^2 = f(x),</math>
kde jsme využili známého vzorce <math>\scriptstyle \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1</math>. Vidíme tedy, že rozklad vektoru do lineární kombinace není jednoznačný, pokud nespecifikujeme, jaké vektory se mají v lineární kombinaci vyskytovat.
=== Příklad 3 — Polynomy ===
Speciálními případy spojitých funkcí jsou [[polynom]]y. Polynomem je například i funkce <math>\scriptstyle f</math> z předchozího příkladu. Viděli jsme, že lze tuto funkci vyjádřit jako lineární kombinaci mnoha jiných funkcí. Ptejme se nyní, zda lze tuto funkci napsat jako lineární kombinaci následujících tří polynomů a pokud ano, pokusme se nalézt dané koeficienty:
:<math> p_1(x) = x^2 - 1, \quad p_2(x) = x^2 + x + 1, \quad p_3(x) = x^2 - \frac{7}{2} x.</math>
Začněme svůj postup tím, že si napíšeme obecný tvar lineární kombinace, do které dosadíme naše polynomy <math>\scriptstyle p_1, p_2, p_3</math>:
:<math> \alpha_1 p_1(x) + \alpha_2 p_2(x) + \alpha_3 p_3(x) = \alpha_1 (x^2 - 1) + \alpha_2 (x^2 + x + 1) + \alpha_3 (x^2 - \frac{7}{2} x) = (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) x^2 + (\alpha_2 - \frac{7}{2} \alpha_3) x + (-\alpha_1 + \alpha_2).</math>
Právě jsme si koeficienty shlukli ke stejným mocninám proměnné <math>\scriptstyle x</math>. Chtěli bychom vědět, zda výraz výše může být pro nějaké hodnoty koeficientů roven výrazu
:<math> f(x) = (3x+2)^2 = 9 x^2 + 12 x + 4.</math>
Máme tedy rovnost dvou funkcí závislých na proměnné <math>\scriptstyle x</math>:
:<math>9 x^2 + 12 x + 4 = (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) x^2 + (\alpha_2 - \frac{7}{2} \alpha_3) x + (-\alpha_1 + \alpha_2).</math>
Protože se mají rovnat dvě funkce závislé na proměnné <math>\scriptstyle x</math>, musí být rovnost splněna pro všechny hodnoty proměnné a tedy musejí čísla před každou mocninou proměnné být v obou výrazech rovna. Dostáváme tak soustavu rovnic
:<math>
\begin{align}
\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 & = & 9 \\
\quad \quad \alpha_2 - \frac{7}{2} \alpha_3 & = & 12 \\
-\alpha_1 + \alpha_2 \quad \quad & = & 4
\end{align}
</math>
Vyjádřeme si z poslední rovnice <math>\scriptstyle \alpha_2 = 4 + \alpha_1</math> a dosaďme do zbylých dvou. Dostaneme tak
:<math>
\begin{align}
2 \alpha_1 + \alpha_3 & = & 5 \\
\quad \quad \alpha_1 - \frac{7}{2} \alpha_3 & = & 8
\end{align}
</math>
Opět si z druhé rovnice vyjádřeme <math>\scriptstyle \alpha_1 = \frac{7}{2} \alpha_3 + 8</math> a dosaďme do první rovnice. Ta se následně redukuje do tvaru
:<math> \alpha_3 = -\frac{11}{8}.</math>
Po zpětném podosazování tedy dostáváme
:<math> \alpha_1 = \frac{51}{16}, \quad \alpha_2 = \frac{115}{16}, \quad \alpha_3 = -\frac{11}{8}.</math>
Výsledek nikterak pohledný, leč správný. Pro funkci <math>\scriptstyle f</math> jsme tak nalezli koeficienty jejího rozkladu do polynomů <math>\scriptstyle p_1, p_2, p_3</math>.
=== Příklad 4 — Soustavy lineárních rovnic ===
Uvažujme nyní následující [[soustava lineárních rovnic|soustavu lineárních rovnic]]
:<math>
\begin{align}
3 x - 2 y + 2 z & = & 8 \\
- x + \ y + 2 z & = & -1 \\
x \quad \quad \ + 6 z & = & 6 \\
\ 2 y - \ z & = & 0 \\
\end{align}
</math>
Tuto soustavu lze přepsat do kompaktnějšího tvaru tím, že se přeneseme do vektorového prostoru <math>\scriptstyle \mathbb{R}^4</math> a zavedeme vektory
:<math>
\vec{a}_1 =
\begin{pmatrix}
3 \\ -1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix},
\quad
\vec{a}_2 =
\begin{pmatrix}
-2 \\ 1 \\ 0 \\ 2
\end{pmatrix},
\quad
\vec{a}_3 =
\begin{pmatrix}
2 \\ 2 \\ 6 \\ -1
\end{pmatrix},
\quad
\vec{b} =
\begin{pmatrix}
8 \\ -1 \\ 6 \\ 0
\end{pmatrix}.
</math>
Není těžké vidět, že lze pak výše uvedenou soustavu zapsat jako rovnost, kde na levé straně vystupuje lineární kombinace vektorů <math>\scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3</math>:
:<math> x \vec{a}_1 + y \vec{a}_2 + z \vec{a}_3 = \vec{b}.</math>
Nyní tedy v roli koeficientů lineární kombinace vystupují [[proměnná|proměnné]] <math>\scriptstyle x, y, z</math>, jejichž hodnoty chceme nalézt. Úlohu najít řešení soustavy lineárních rovnic jsme tak převedli na úlohu, kdy máme tři zadané vektory <math>\scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3</math> a chceme najít takové jejich lineární kombinace, které budou rovny čtvrtému zadanému vektoru, vektoru <math>\scriptstyle \vec{b}</math>. V našem případě jsou navíc vektory <math>\scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3</math> [[lineární nezávislost|lineárně nezávislé]]. Můžeme se na ně tedy dívat jako na [[Báze (algebra)|bázi]] jistého trojrozměrného [[vektorový podprostor|podprostoru]] v <math>\scriptstyle \mathbb{R}^4</math>. Na naši úlohu lze poté nahlížet i tak, že hledáme souřadnice vektoru <math>\scriptstyle \vec{b}</math> v bázi tvořené právě vektory <math>\scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3</math>. Pokud <math>\scriptstyle \vec{b}</math> neleží v jimi generovaném podprostoru, tak výše uvedená soustava rovnic nemá řešení, to ale není náš případ.
Pro úplnost, výše uvedenou vektorovou [[rovnice|rovnici]] můžeme dále převézt na ještě kompaktnější tvar, naskládáme-li vektory <math>\scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3</math> do [[matice]]. Označme si tuto matici <math>\scriptstyle A</math>. Navíc si ještě definujme vektor <math>\scriptstyle \vec{x}</math> jako sloupeček neznámých proměnných, pak
:<math>
A =
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \quad \vec{a}_1 \quad \vec{a}_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & -2 & 2 \\
-1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 6 \\
0 & 2 & -1
\end{pmatrix},
\quad
\vec{x} =
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}.
</math>
S takto zavedenou maticí můžeme výše uvedenou soustavu rovnic vyjádřit ve tvaru
:<math> A \vec{x} = \vec{b},</math>
kde se uplatňuje [[násobení matic|násobení matice]] <math>\scriptstyle A</math> a vektoru <math>\scriptstyle \vec{x}</math>.
== Speciální případy lineární kombinace ==
| |||