Vektorový podprostor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Prakticky celé změněno |
Přidány další vlastnosti |
||
Řádek 44:
# <math> (\forall \alpha \in T)(\alpha \neq 0 \Rightarrow \alpha \cdot P = P).</math>
:''Důkaz:'' V prvních třech rovnostech inkluze zleva doprava rovnou plynou z definičních podmínek, resp. z tvrzení [[vektorový podprostor#Alternativní definiční podmínky podprostoru|výše]]. Pro důkaz opačných inkluzí uvažujme vektor <math>\scriptstyle \vec{x} \in P</math>. V rovnosti 1 lze pak za vektor v prvním prostoru <math>\scriptstyle P</math> brát samotné <math>\scriptstyle \vec{x}</math> a ve druhém prostoru <math>\scriptstyle P</math> stačí vzít nulový vektor. V rovnosti 2 lze k důkazu inkluze zprava doleva akorát položit prvek z tělesa <math>\scriptstyle T</math> jako <math>\scriptstyle \alpha = 1</math>. V rovnosti 3 pak postupujeme analogickým způsobem. K důkazu rovnosti 4 využijme toho, že bereme <math>\scriptstyle \alpha \neq 0</math> a můžeme jím tedy dělit. Inkluze zleva doprava plyne z definice podprostoru. Pro důkaz opačné inkluze vezměme <math>\scriptstyle \vec{x} \in P</math>. Za vektor v prostoru <math>\scriptstyle P</math> na levé straně rovnosti pak stačí vzít vektor <math>\scriptstyle \frac{1}{\alpha} \vec{x}</math>.
:<math> (\forall P_1 \subset \subset V)(\forall P_2 \subset \subset V)(P_1 + P_2 \subset \subset V).</math>
: Speciálně součet dvou podprostorů je [[direktní součet|direktní]], právě když mají oba podprostory společný jen nulový vektor. To jest
:<math> (\forall P_1 \subset \subset V)(\forall P_2 \subset \subset V)(P_1 + P_2 = P_1 \oplus P_2 \quad \Leftrightarrow \quad P_1 \cap P_2 = \{ \vec{0} \}).</math>
:''Důkaz:'' Zřejmě je <math>\scriptstyle P_1 + P_2 \neq \emptyset</math>. Využijme tvrzení [[vektorový podprostor#Alternativní definiční podmínky podprostoru|výše]]: <math>\scriptstyle T \cdot (P_1 + P_2) + (P_1 + P_2) \subset T \cdot P_1 + T \cdot P_2 + (P_1 + P_2) \subset (T \cdot P_1 + P_1) + (T \cdot P_2 + P_2) \subset P_1 + P_2</math>, čímž jsme dokázali první vlastnost. K důkazu druhé části tvrzení týkající se direktního součtu. Předpokládejme pro důkaz implikace zleva doprava, že součet <math>\scriptstyle P_1 + P_2</math> je direktní. V průniku těchto podprostorů leží určitě nulový vektor. Kdyby tam ležel i nenulový vektor <math>\scriptstyle \vec{x} \in P_1 \cap P_2</math>, tak určitě <math>\scriptstyle \vec{x} \in P_1</math> a současně <math>\scriptstyle -\vec{x} \in P_2</math>. Potom ale můžeme vyjádřit nulový vektor <math>\scriptstyle \vec{0} \in P_1 + P_2</math> jako součet vektoru z <math>\scriptstyle P_1</math> a vektoru <math>\scriptstyle P_2</math> dvěma způsoby. Sice <math>\scriptstyle \vec{0} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{x} + (-\vec{x})</math>. To je však spor s direktností součtu <math>\scriptstyle P_1 \oplus P_2</math>. Dokažme nyní implikaci zprava doleva. Předpokládejme, že <math>\scriptstyle P_1 \cap P_2 = \{ \vec{0} \}</math> a přitom součet <math>\scriptstyle P_1 + P_2</math> není direktní. Takže existuje vektor <math>\scriptstyle \vec{x} \in P_1 + P_2</math>, který lze vyjádřit alespoň dvěma různými způsoby jako <math>\scriptstyle \vec{x} = \vec{a}_1 + \vec{a}_2 = \vec{b}_1< + \vec{b}_2/math>, kde <math>\scriptstyle \vec{a}_1, \vec{b}_1 \in P_1</math> a <math>\scriptstyle \vec{a}_2, \vec{b}_2 \in P_2</math> a navíc <math>\scriptstyle \vec{a}_1 \neq \vec{b}_1</math> a <math>\scriptstyle \vec{a}_2 \neq \vec{b}_2</math>. Pak ale <math>\scriptstyle \vec{0} \neq \vec{a}_1 - \vec{b}_1 = \vec{b}_2 - \vec{a}_2</math>, kde <math>\scriptstyle \vec{a}_1 - \vec{b}_1 \in P_1</math> a <math>\scriptstyle \vec{b}_2 - \vec{a}_2 \in P_2</math>. Mám tak nenulový vektor nacházející se v průniku <math>\scriptstyle P_1 \cap P_2</math>, což je spor s předpoklady.
* Průnik libovolného (konečného i nekonečného) počtu podprostorů vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math> je podprostor ve <math>\scriptstyle V</math>. Uvažujme tedy <math>\scriptstyle \{ P_i \}_{i \in J}</math> neprázdný systém podprostorů ve <math>\scriptstyle V</math>, kde <math>\scriptstyle J</math> je neprázdná [[indexová množina]]. Pak
:<math>\bigcap_{i \in J} P_i \subset \subset V.</math>
:Speciálně, průnik dvou podprostorů je opět podprostor.
:''Důkaz:''
=== Dimenze podprostorů ve vztahu k celkovému vektorovému prostoru ===
* [[Dimenze vektorového prostoru|Dimenze]] podprostoru <math>\scriptstyle P</math> vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math> nemůže překročit dimenzi prostoru <math>\scriptstyle V</math>, tj.
:<math>(\forall P \subset \subset V)(\dim P \leq \dim V).</math>
:Pokud je navíc <math>\scriptstyle V</math> konečnědimenzionální a <math>\scriptstyle P</math> je vlastní podprostor, tak je dimenze <math>\scriptstyle P</math> ostře menší než dimenze <math>\scriptstyle V</math>. To jest
:<math>(\forall P \subset \subset V)((\dim V < + \infty \wedge P \neq V) \Rightarrow \dim P < \dim V).</math>
:''Důkaz:''
* [[První věta o dimenzi]]: Nechť <math>\scriptstyle P_1, P_2</math> jsou konečnědimenzionální podprostory vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math>, pak
:<math> \dim(P_1 + P_2) + \dim(P_1 \cap P_2) = \dim P_1 + \dim P_2.</math>
:Pro [[direktní součet podprostorů]] pak speciálně
:<math> \dim(P_1 \oplus P_2) = \dim P_1 + \dim P_2.</math>
:''Důkaz:'' viz článek [[První věta o dimenzi]]:.
=== Souvislost s lineárním obalem ===
Řádek 57 ⟶ 84:
:''Důkaz:'' Plyne snadno z uzavřenosti lineárního obalu na sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa.
* [[Dimenze vektorového prostoru|Dimenze]] lineárního obalu coby vektorového prostoru je vždy menší než počet [[generátor lineárního obalu|generátorů]]. Neboli
:<math> (\forall k \in \mathbb{N})(\forall \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k \in V)(\text{dim} \Big( \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k \}_\text{lin} \Big) \leq k).</math>
:Přitom dimenze lineárního obalu je rovna počtu svých generátorů právě když jsou [[generátor lineárního obalu|generátory]] [[lineární nezávislost|lineárně nezávislé]] (LN), tj.
| |||