Elipsa: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m narovnání přesměrování |
m bot rozložil {{Sisterlinks}} na šablony s parametry za použití AWB |
||
Řádek 16:
=== Kanonický tvar ===
Kanonický tvar rovnice elipsy v normální poloze (tzn. hlavní osa je [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>x</math> a střed má souřadnice <math>[x_0,y_0]</math>) je
: <math>\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1</math>
V [[kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnicích]] lze v normální poloze elipsu se středem v počátku vyjádřit [[rovnice|rovnicí]]
: <math>\left({x\over a}\right)^2+\left({y\over b}\right)^2 = 1\,</math>,
kde ''a'' je délka hlavní poloosy, ''b'' je délka vedlejší poloosy a <math>[x,y]</math> jsou souřadnice libovolného bodu elipsy. Veličina <math>e = \sqrt{a^2-b^2}</math> se nazývá '''excentricita elipsy''' (výstřednost) a vyjadřuje [[vzdálenost]] ohniska od středu elipsy.
=== Vrcholová rovnice ===
Vrcholová rovnice elipsy má tvar
: <math>y^2 = 2px - \frac{p}{a}x^2</math>,
kde <math>p = \frac{b^2}{a}</math> je tzv. ''parametr elipsy''. Tato rovnice vyjadřuje elipsu, jejíž hlavní vrchol leží v počátku souřadné soustavy a hlavní osa je rovnoběžná s osou <math>x</math>.
=== Rovnice kuželosečky ===
Z rovnice [[kuželosečka|kuželosečky]] lze získat rovnici elipsy v normální poloze, pokud jsou splněny následující podmínky
: <math>\sgn a_{11} = \sgn a_{22} = \sgn (a_{22} a_{13}^2 + a_{11} a_{23}^2 - a_{11} a_{22} a_{33})</math>
: <math>a_{12}=0</math>
: <math>|a_{11}|<|a_{22}|</math>
Elipsa zadaná [[rovnice|rovnicí]] kuželosečky splňující uvedené podmínky má hlavní poloosu o délce
: <math>a = \sqrt{\frac{a_{22}a_{13}^2+a_{11}a_{23}^2-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{11}^2 a_{22}}}</math>
Délka vedlejší poloosy je
: <math>b = \sqrt{\frac{a_{22}a_{13}^2+a_{11}a_{23}^2-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{22}^2 a_{11}}}</math>
Střed elipsy má souřadnice
: <math>\left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]</math>
=== Parametrické rovnice ===
Elipsu lze vyjádřit [[parametrická funkce|parametrickými rovnicemi]]
: <math>x = a\,\cos t</math>
: <math>y = b\,\sin t</math>
kde <math>t\in\langle 0,2\pi \rangle</math> je tzv. ''excentrická anomálie''.
=== Rovnice v polárních souřadnicích ===
V [[polární soustava souřadnic|polárních souřadnicích]] lze v případě, že ohnisko <math>F_2</math> leží v počátku souřadnicové soustavy a [[polární osa|polární osou]] je [[polopřímka]] <math>F_2B</math> psát rovnici elipsy ve tvaru
: <math>\rho = \frac{p}{1+\varepsilon\cos\varphi}</math>,
kde <math>\varepsilon = e/a < 1</math> je tzv. '''číselná excentricita''' a <math>p</math> je ''parametr elipsy''. Číselná excentricita vyjadřuje míru zploštění elipsy, míru odlišnosti od [[kružnice]]. Má smysl ji porovnávat i pro různě velké elipsy. Geometrický význam ''parametru'' je polovina délky [[Tětiva (geometrie)|tětivy]] vedené ohniskem [[Ortogonalita|kolmo]] na hlavní osu.
Pokud v počátku souřadnicové soustavy leží střed elipsy a polární osou je polopřímka <math>SB</math>, pak dostáváme rovnici
: <math>\rho^2 = \frac{b^2}{1-\varepsilon^2 \cos^2 \varphi}</math>
pro <math>\varepsilon<1</math>.
Řádek 92:
[[Afinní zobrazení|Afinním]] obrazem [[kružnice]] je elipsa (nebo kružnice) a z této úvahy můžeme vyvodit následující konstrukci<ref>''Konstruktivní geometrie'': str. 88-94. Jaroslav Černý a Marie Kočandrlová. Vydavatelství ČVUT, Praha 1998. ISBN 80-01-01815-6</ref>:
=== Trojúhelníková konstrukce ===
Je zadán střed ''S'', osy ''o<sub>1</sub> a o<sub>2</sub>'', velikosti [[poloosa|poloos]] ''a'' (hlavní), ''b'' (vedlejší).
==== Postup ====
Sestrojíme soustředné kružnice v bodě ''S'' kružnice ''k<sub>1</sub>'' a ''k<sub>2</sub>'', které mají [[poloměr]]y velikosti ''a'' a ''b''.
Vedeme libovolnou [[polopřímka|polopřímku]] ''p'' vycházející z bodu ''S''. Pak bod ''M'' je průsečíkem přímek ''p<sub>1</sub>'' a ''p<sub>2</sub>'': zároveň platí, že ''p<sub>1</sub>'' || ''o<sub>1</sub>'', ''p<sub>2</sub>'' || ''o<sub>2</sub>''. <br />
Bod ''m<sub>1</sub>'' je průsečík přímky ''p<sub>1</sub>'' s kružnicí ''k<sub>1</sub>''.<br />
Řádek 109:
Průsečík této přímky m´ s vedlejší poloosou ''o<sub>2</sub>'' nazveme ''P<sub>2</sub>''. Vzniklá úsečka ''MP<sub>2</sub>'' má velikost ''a''.
Nyní si na okraji pomocného pruhu papíru označíme vzdálenosti ''MP<sub>2</sub>'' a ''MP<sub>1</sub>'' do jedné přímky ''M'' - ''P<sub>1</sub>'' - ''P<sub>2</sub>'' (z tohoto plyne název proužková konstrukce). Poté přikládáme proužek papíru tak, aby značka bodu ''P<sub>2</sub>'' byla na vedlejší poloose ''o<sub>2</sub>'' a zároveň značka bodu ''P<sub>1</sub>'' byla na hlavní poloose ''o<sub>1</sub>''. Značka bodu ''M'' nám tak bude opisovat hledanou elipsu.
Tento typ konstrukce se nazývá rozdílová. Požívá se i součtová konstrukce, kterou můžete vidět na obrázku vpravo.
[[Soubor:Prickova konstrukce elipsy.jpg|thumb|right|300px|Příčková konstrukce elipsy. Hledání průsečíků, které leží na elipse.]]
=== Příčková konstrukce ===
Elipsa je v tomto případě dána dvojicí sdružených průměrů ''RQ'' a ''MN'', které na sebe nejsou kolmé (viz Geometrické vlastnosti elipsy).
==== Postup ====
V bodech ''R'' a ''Q'' sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem ''MN''. V bodech ''M'' a ''N'' sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem ''RQ''. Vznikne nám [[rovnoběžník]] s vrcholy ''M<sub>1</sub>N<sub>1</sub>R<sub>1</sub>Q<sub>1</sub>'', které jsou průsečíky rovnoběžek k průměrům ''MN'' a ''RQ''. <br />
Řádek 139:
* [[Tissotova indikatrix]]
* [[Hypocykloida]]
{{Kuželosečky}}
== Externí odkazy ==
{{Commonscat|Ellipses}}
* {{Wikislovník|heslo=elipsa}}
* {{MathWorld|id=Ellipse}}
* Dva způsoby rýsování elipsy: [http://www.youtube.com/watch?v=co7U0BfYvgQ využitím hlavní a vedlejší poloosy] nebo [http://www.youtube.com/watch?v=CaokHrXP8HM ohnisek] ([[YouTube]])
| |||