Metrický tenzor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Bot: Odstranění 19 odkazů interwiki, které jsou nyní dostupné na Wikidatech (d:q757269) |
m narovnání přesměrování |
||
Řádek 1:
{{Upravit}}
V [[matematika|matematice]] je '''metrický tenzor''' zpravidla [[tenzorové pole]] druhého řádu na [[varieta (matematika)#Hladká varieta|hladké]] [[varieta (matematika)|varietě]], které dává do souvislosti [[Soustava souřadnic|souřadnice]] a [[vzdálenost]]. Jinými slovy, zvolíme na [[tečný bandl|tečném bandlu]] [[varieta (matematika)#Hladká varieta|hladké variety]] [[tenzorové pole]] druhého řádu. V daném bodě [[varieta (matematika)|variety]] přiřadí toto pole dvěma [[vektor]]ům z [[tečný prostor variety|tečného prostoru]] reálné číslo.
Dosadíme-li dva různé vektory '''U''','''V''', realizuje tento přepis jejich [[skalární součin]]. Dosadíme-li dva stejné vektory '''V''', definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru '''V'''. Pokud pro každý vektor '''V''' a každý bod [[varieta (matematika)|variety]] je toto číslo kladné, označujeme metriku jako [[Riemannovská metrika|Riemannovskou]]. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako [[Pseudo-Riemannovská metrika|pseudo-Riemannovskou]]. Toto je typické např. pro [[Obecná teorie relativity|Obecnou teorii relativity]].
== Metrická forma ==
Dále využíváme [[souřadnicový zápis vektorů]]. Kvadrát [[Vzdálenost|vzdálenosti]] dvou [[bod]]ů je metrickým tenzorem <math>g_{ij}</math> dán v závislosti na [[
:<math>\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j\,</math>,
kde využíváme [[einsteinova konvence|Einsteinovu sumační konvenci]], tedy [[součet|sčítání]] přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. Tento výraz bývá označován jako '''základní''' (nebo '''metrická''') '''forma''' daného [[metrický prostor|metrického prostoru]].
Předpokládejme, že <math>x_i</math> představují [[kartézské souřadnice]] v <math>n</math>-[[
:<math>\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x_i\,\mathrm{d}x^i</math>
Použijeme-li v tomto prostoru [[křivočaré souřadnice]] <math>\xi_j</math>, tzn. <math>\mathrm{d}x_i = \frac{\part x_i}{\part \xi^j}\mathrm{d}\xi^j</math>, lze metrickou formu přepsat na tvar
| |||