Totální diferenciál: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
wikify |
+ vektorový zápis, použití k aproximaci funkce |
||
Řádek 1:
'''Totální [[diferenciál (matematika)|diferenciál]]''' v [[matematika|matematice]] vyjadřuje závislost změny hodnoty [[funkce (matematika)|funkce]] několika proměnných na malé změně jedné nebo více z nich. Tuto závislost [[aproximace|aproximuje]] jako [[lineární funkce|lineární funkci]].
Je-li funkce ''n'' proměnných <math>y = f(x_1, \dots, x_n)</math> [[diferencovatelnost|diferencovatelná]] v bodě <math>(x_1, \dots, x_n)</math>, potom její totální diferenciál v tomto bodě je lineární funkce
: <math>\mathrm{d}y = \frac{\partial y}{\partial x_1}\, \mathrm{d}x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\, \mathrm{d}x_n</math>,
kde
: <math>\frac{\partial y}{\partial x_i}</math> je [[parciální derivace]] funkce <math>f</math> podle <math>x_i</math> v bodě <math>(x_1, \dots, x_n)</math>,
: <math>\mathrm{d}x_1, \dots, \mathrm{d}x_n</math> jsou změny jednotlivých nezávislých proměnných.
[[Vektor]]ově lze totéž zapsat takto: Je-li funkce <math>y = f(\mathbf{x})</math> [[diferencovatelnost|diferencovatelná]] v bodě <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)</math>, potom její totální diferenciál v tomto bodě je [[skalární součin]]
: <math>\mathrm{d}y = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}</math>,
kde
: <math>\nabla f(\mathbf{x}) = \left(\frac{\partial y}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial y}{\partial x_n}\right)</math> je [[gradient (matematika)|gradient]] funkce <math>f</math> v bodě <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)</math>,
: <math>\mathrm{d}\mathbf{x} = (\mathrm{d}x_1, \dots, \mathrm{d}x_n)</math> je vektor změn jednotlivých nezávislých proměnných.
== Použití k aproximaci funkce ==
S použitím totálního diferenciálu lze hodnotu funkce <math>y = f(\mathbf{x})</math> v [[okolí (matematika)|okolí]] bodu <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)</math> vyjádřit vztahem
: <math>f(\mathbf{x} + \mathrm{d}\mathbf{x}) = y + \mathrm{d}y + \varepsilon</math>,
kde
: <math>y = f(\mathbf{x})</math> je hodnota funkce <math>f</math> v bodě <math>\mathbf{x}</math>,
: <math>\mathrm{d}y = \nabla f \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}</math> je totální diferenciál funkce <math>f</math> v bodě <math>\mathbf{x}</math> při změně argumentu <math>\mathrm{d}\mathbf{x}</math>,
: <math>\varepsilon</math> je chyba aproximace, která je pro malé <math>\mathrm{d}\mathbf{x}</math> velmi malá:
:: <math>\lim_{\mathrm{d}\mathbf{x} \to \mathbf{0}}\frac{\varepsilon}{\|\mathrm{d}\mathbf{x}\|} = 0</math>
==Definice==
| |||