Eulerova–Lagrangeova rovnice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
dalsi update |
pracuje se |
||
Řádek 2:
'''Euler-Lagrangeova rovnice''' se také často nazývá '''Eulerova rovnice''' nebo '''Lagrangeova rovnice''', protože na této rovnici pracovali [[Leonhard Euler]] a [[Joseph Louis Lagrange]] současně okolo roku [[1755]]. V oboru [[variační počet|variačního počtu]] se jedná o [[diferenciální rovnice|diferneciální rovnici]] umožňující nalezení extrému [[funkcionál]]u a obvykle bývá užívána při [[optimalizace|optimalizaci]] a v [[mechanika|mechanice]] pro odvozování [[pohybová rovnice|pohybových rovnic]] různých objektů.
== Popis problému optimalizace ==
Je zadána následující funkce ''F'', která má spojité první [[parciální derivace]].
Řádek 16:
:<math> \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 </math>
=== Příklad: „Nejlevnější cesta“ ===
Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu ''J'' při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.
Řádek 23:
:<math> y(1) = 1 </math>
V podstatě hledáme takovou [[trajektorie|trajektorii]] (množinu bodů <math>[x;y(x)]</math>) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby [[určitý integrál]] podél této [[křivka|křivky]] byl minimální. Lze si také představit, že
:<math> 12x - 2y'' = 0 </math>
Řádek 40:
:<math> c_2 = 0 </math>
:<math> y(x) = x^3 </math>
== Lagrangeova mechanika ==
Předchozí formulace problému byla poněkud „Eulerovská“. [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] k problému přistupoval tak, že se snažil najít [[pohybová rovnice|pohybovou rovnici]] popisující trajektorii hmotného bodu. Za tímto účelem odvodil [[lagrangián]] ''L'', který je rozdílem [[kinetická energie|kinetické]] (''E<sub>k</sub>'', někdy také ''T'') a [[potenciální energie]] (''E<sub>p</sub>'', někdy také ''V'') zkoumaného tělesa. Pro těleso o souřadnicích ''q<sub>i</sub>'', na které nepůsobí externí síly, potom musí platit Euler-Lagrangeova rovnice.
:<math> L = T - V </math>
:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 </math>
=== Příklad: Pohybová rovnice ===
== Podívejte se také na ==
* [[Variační počet]]
* [[:de:Lagrange-Formalismus]]
* [[:en:Lagrangian mechanics]]
== Externí odkazy ==
* Významní matematikové v historii (3), Euler + Lagrange: http://natura.eri.cz/natura/2002/4/20020405.html
* Variační počet: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/MAF042/kap19.pdf
* Prezident, prázdný talíř, Lagrangeovy rovnice a tak vůbec: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~dolejsi/talir.pdf
* Příklad 18, Vačkový mechanismus: http://volt.feld.cvut.cz/vyuka/DMS/priklady/pr_18.html
[[Kategorie:Variační počet]]
| |||