Narodil se v Drahotuších u [[Hranice na(okres MoravěPřerov)|Hranic]]. Za [[Druhá světová válka|2. světové války]] se přestěhoval do Brna, kde se seznámil s [[Karel Absolon|Karlem Absolonem]], který Klímu zaměstnal jako kresliče pro svoje archeologické atlasy. Zde se Klíma poprvé seznámil s výrobky lidí ze [[Paleolit|starší doby kamenné]]. Když byly v roce [[1945]] znovu otevřeny vysoké školy, nastoupil studium, které ukončil doktorátem z přírodních věd v roce 1948. Tehdy se zaměřoval ještě na [[Čtvrtohory|čtvrtohorní]] geologii. Jako pracovník [[Moravské zemské muzeum|Moravského zemského muzea]], kde se stal vedoucím „diluviálního“ oddělení, se dostal na studijní cestu do Francie.
Po vzniku [[ČSAV|akademie věd]] v roce 1952 přešel z muzea do brněnské pobočky archeologického ústavu [[Československá akademie věd|ČSAV]]. V ústavu působil celou svoji aktivní vědeckou dráhu, až do roku 1995. Vedl bezpočet výzkumů v Československu a účastnil se také výzkumů v západní Evropě.
