Spojité zobrazení: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Bot: Odstranění 5 odkazů interwiki, které jsou nyní dostupné na Wikidatech (d:q1207490) |
m + {{Interwiki konflikt}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 26:
=== Spojitá zobrazení na množinách čísel ===
{{Podrobně|spojitá funkce}}
Zobrazením mezi množinami čísel se častěji říká [[Funkce (matematika)|funkce]]. Funkce ''f'' je spojitá v bodě ''x'', pokud pro každé <math>\epsilon>0</math> existuje <math>\delta>0\,\!</math> takové, že <math>|x-y|<\delta\,\!</math> [[implikace|implikuje]] <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon\,\!</math>.
Množina
== Vlastnosti spojitých zobrazení ==
Řádek 48:
* Každé zobrazení z [[Diskrétní prostor|diskrétního prostoru]] do libovolného metrického prostoru je spojité <ref group=pozn>Stačí si uvědomit, že pro diskrétní prostor platí <math>\scriptstyle \forall x,\,y \in X, x \neq y:\rho(x,y)=1.</math></ref>.
* Mějme X prostor spojitých reálných funkcí na intervalu <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math> spolu se supremovou normou (''||f||:=sup |f(x)|'') a nechť ''K(x,t)'' je spojitá funkce. Definujme <math>\scriptstyle A:\,X \to X,\ (Ax)(t)=\int_0^1 K(t,\,s ) x(s) ds</math>. Pak <math>\scriptstyle A\,</math> je spojité zobrazení v <math>\scriptstyle\ C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right )</math>.
* Příkladem spojitého zobrazení na topologickém prostoru, který není metrizovatelný, je [[Funkce Alef|funkce <math>\aleph</math>]], která ordinálnímu číslu <math>\alpha</math> přiřadí <math>\alpha</math>-tou nejmenší nekonečnou [[mohutnost]]. Jedná se o zobrazení na [[Vlastní třída|vlastní třídě]], ovšem pro každé [[Vlastní třída|ordinální číslo]] <math>\beta</math> (které je zároveň množinou ordinálních čísel) je [[Restrikce zobrazení|restrikce]] této funkce na <math>\beta</math> spojitým <ref group="pozn">Pokud konverguje <math>\{\alpha_n\}\subseteq\beta\,\!</math> k nějakému <math>\alpha\in\beta\,\!</math>, pak posloupnost <math>\{\aleph_{\alpha_n}\}</math> konverguje k <math>\aleph_\alpha\ \,\!</math>. Příkladem je posloupnost <math>\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\ldots ,\!</math> konvergující k <math>\aleph_\omega,\!</math>, zvolíme-li <math>\beta=\omega+1</math>
* Lineární zobrazení nekonečně rozměrného vektorového prostoru může, ale také nemusí být spojité. Nechť <math>X=C^\infty(\langle 0,1 \rangle)</math> je prostor hladkých funkcí spolu s maximovou normou ''||f||=sup |f(x)|''. Pak derivace <math>D:X\to X</math> je lineární nespojité zobrazení. <ref group="pozn">Vezměme <math>\scriptstyle f_n(t)=t^n/n, n \in \N</math>, pak <math>\scriptstyle ||f_n||=1/n\to 0</math>, ale velikosti obrazů jsou <math>||(f_n)'||=||t^{n-1}||=1</math></ref>.
Řádek 63:
{{Portály|Matematika}}
{{Interwiki konflikt}}
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Matematická analýza]]
[[ru:Непрерывная функция]]
| |||