Nechť
X
{\displaystyle X}
je množina bodů ze znění lemmatu.
n
≥
d
+
2
{\displaystyle n\geq d+2}
, tedy
X
{\displaystyle X}
je afinně závislá množina. Tedy existují
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
∈
R
,
∑
i
=
1
n
α
i
=
0
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} ,\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=0}
takové, že
∑
i
=
1
n
α
i
x
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}=0}
je netriviální kombinace.
Definujme
A
=
{
x
i
|
α
i
>
0
}
,
B
=
X
∖
A
{\displaystyle A=\{x_{i}\,|\,\alpha _{i}>0\},B=X\setminus A}
a hodnotu
S
=
∑
x
i
∈
A
α
i
≠
0
{\displaystyle S=\sum _{x_{i}\in A}\alpha _{i}\neq 0}
. Potom také platí
−
S
=
∑
x
i
∈
B
α
i
{\displaystyle -S=\sum _{x_{i}\in B}\alpha _{i}}
, protože
∑
i
=
1
n
α
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=0}
.
Potom bod
z
=
∑
x
i
∈
A
α
i
S
x
i
{\displaystyle z=\sum _{x_{i}\in A}{\frac {\alpha _{i}}{S}}x_{i}}
je konvexní kombinací bodů v
A
{\displaystyle A}
, protože
∀
i
∈
J
A
=
{
j
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
|
x
j
∈
A
}
:
α
i
S
≥
0
{\displaystyle \forall i\in J_{A}=\{j\in \{1,2,\dots ,n\}\,|\,x_{j}\in A\}:{\frac {\alpha _{i}}{S}}\geq 0}
a platí
∑
i
∈
J
A
α
i
S
=
1
S
∑
i
∈
J
A
α
i
=
1
S
S
=
1
{\displaystyle \sum _{i\in J_{A}}{\frac {\alpha _{i}}{S}}={\frac {1}{S}}\sum _{i\in J_{A}}\alpha _{i}={\frac {1}{S}}S=1}
.
Zároveň ale
z
=
∑
x
i
∈
B
−
α
i
S
x
i
{\displaystyle z=\sum _{x_{i}\in B}{\frac {-\alpha _{i}}{S}}x_{i}}
, což je opět konvexní kombinace bodů v
B
{\displaystyle B}
z analogických důvodů. Tedy
z
{\displaystyle z}
je v konvexním obalu
A
{\displaystyle A}
i
B
{\displaystyle B}
a proto
c
o
n
v
(
A
)
∩
c
o
n
v
(
B
)
⊇
{
z
}
≠
∅
{\displaystyle \mathrm {conv} (A)\cap \mathrm {conv} (B)\supseteq \{z\}\neq \emptyset }
.