Mějme
V
{\displaystyle \scriptstyle V}
vektorový prostor nad tělesem
T
{\displaystyle \scriptstyle T}
x
→
1
,
…
,
x
→
n
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}
V
{\displaystyle \scriptstyle V}
konvexních kombinací této sady vektorů nazýváme konvexní obal vektorů
x
→
1
,
…
,
x
→
n
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}
convex span , convex hull či convex envelope ). Někdy se konvexní obal zmíněných vektorů značí jako
[
x
→
1
,
…
,
x
→
n
]
κ
{\displaystyle \scriptstyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }}
[
x
→
1
,
…
,
x
→
n
]
κ
≡
{
∑
i
=
1
n
α
i
x
→
i
|
(
∀
i
∈
n
^
)
(
α
i
∈
T
∧
α
i
≥
0
)
∧
∑
i
=
1
n
α
i
=
1
}
,
{\displaystyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }\equiv \left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in {\hat {n}})(\alpha _{i}\in T\wedge \alpha _{i}\geq 0)\wedge \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\right\},}
kde
n
^
≡
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}}
Mějme vektorový prostor
V
{\displaystyle \scriptstyle V}
T
{\displaystyle \scriptstyle T}
V
{\displaystyle \scriptstyle V}
n
^
≡
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}}
Konvexní obal daných vektorů obsahuje i tyto vektory samotné. Neboli
(
∀
n
∈
N
)
(
∀
i
∈
n
^
)
(
x
→
i
∈
[
x
→
1
,
…
,
x
→
n
]
κ
)
{\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall i\in {\hat {n}})({\vec {x}}_{i}\in [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa })}
Důkaz : Doplnit...Důkaz : Doplnit...Konvexní obal daných vektorů je nejmenší konvexní podmnožina vektorového prostoru obsahující tyto vektory, tj.
[
x
→
1
,
…
,
x
→
n
]
κ
=
⋂
K
je konvexní
,
K
⊂
V
,
{
x
→
1
,
…
,
x
→
n
}
⊂
K
K
{\displaystyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }=\bigcap _{K\ {\text{je konvexní}},\ K\subset V,\ \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset K}K}
Důkaz : Doplnit... Související články
editovat
![{\displaystyle \scriptstyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0179b946105e986eb383f029ce3b9df51e3f7e)
![{\displaystyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }\equiv \left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in {\hat {n}})(\alpha _{i}\in T\wedge \alpha _{i}\geq 0)\wedge \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afc57dd37da599158414127598d9a8248dfa4c3)
![{\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall i\in {\hat {n}})({\vec {x}}_{i}\in [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e55d0e3f4b500ed6f2c22b59a3548232541fdc3)
![{\displaystyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }=\bigcap _{K\ {\text{je konvexní}},\ K\subset V,\ \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset K}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b753e521668e9e76b50b1fa83b710a36a9e78f)
