Otevřít hlavní menu

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou . Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s . Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

Znění axiomůEditovat

Formální zápisEditovat

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

  •  
  •  
  •  
  •  

Slovní zápisEditovat

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

  • existuje číslo, které není následníkem žádného čísla,
  • Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
  • Číslo 0 není následovníkem žádného přirozeného čísla.
  • Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
  • Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

Axiom indukceEditovat

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost  . Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud   je výrok závisející na  , tak:

 .

Pokud je možné najít   pro které platí výrok   a pokud pro výrok   platí pro   větší  , tak platí pro  , potom výrok   platí pro každé   větší  .

Definice operací a uspořádání na přirozených číslechEditovat

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

  • Součet   definujeme indukcí podle druhého sčítance:  .
  • Součin   definujeme indukcí podle druhého činitele:  .
  • Relaci   definujeme formulí  .

Přirozená čísla bez nulyEditovat

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.

Související článkyEditovat