Otevřít hlavní menu

Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

,

kde je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že je vždy kolmá na (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

.

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

PříkladyEditovat

Speciálně je-li  , dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

 

Což lze přepsat pomocí úhlu  , který paprsek svírá s osou y do tvaru

 

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu: