Paprsková rovnice
Paprskovou rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je
,
kde je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar
Z diferenciální geometrie je přitom známo, že je vždy kolmá na (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
.
Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).
Máme-li tedy zadán směr paprsku v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
Příklady
editovatSpeciálně je-li , dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.
Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x, y platí
Což lze přepsat pomocí úhlu , který paprsek svírá s osou y do tvaru
Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu: