Lippmannova–Schwingerova rovnice

Lippmannova-Schwingerova rovnice je kvantově mechanická rovnice hojně užívaná v teorii rozptylu. Jedná se o integrální rovnici, která je často řešena iterační metodou což vede na Bornovu řadu.

V případě jednokanálového rozptylu má nezávisle na reprezentaci Lippmann-Swingerova rovnice tvar

$|\psi _{\rm {p}}^{\pm }\rangle =|{\rm {{p}\rangle +{\hat {G}}_{0}^{\pm }(E){\hat {H}}_{I}|\psi _{\rm {p}}^{\pm }\rangle }}$,

kde $|\psi _{\rm {p}}^{\pm }\rangle$ označuje retardované a advancované řešení rovnice, ${\hat {H}}_{I}$ interační hamiltonián a ${\hat {G}}_{0}^{\pm }(E)$ retardovaný, resp. avansovaný, Greenův operátor bezčasové Schrödingerovy rovnice pro volnou částici. Můžeme jej vyjádřit takto

${\hat {G}}_{0}^{\pm }(E)={\frac {1}{E-{\hat {H}}_{0}\pm i\varepsilon }}$.

Řešení Lippmann-Swingerovy rovnice vyhovují nečasové (stacionární) Schrödingerově rovnici, tedy platí:

${\hat {H}}|\psi _{\rm {p}}^{\pm }\rangle =E|\psi ^{\pm }\rangle$

Platí dokonce normovací podmínka

$\langle \psi _{\rm {p}}^{\pm }|\psi _{\rm {p'}}^{\pm }\rangle =\delta ({\rm {{p}-{\rm {{p'})}}}}$.

Přitom pro celkový hamiltonián $H$ platí

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{I}$,

kde $H_{0}$ je hamiltonián volné částice, tedy nerelativisticky

${\hat {H}}_{0}={\frac {{\hat {\rm {p}}}^{2}}{2m}}$.

Platí také $E={\frac {p^{2}}{2m}}$, protože se energie částice zachovává a dlouho před rozptylem odpovídá energii volné částice.

Poznamenejme, že retardované řešení popisuje rozptylující se částici, která na rozptylové centrum nalétává jako rovinná vlna $|{\rm {{p}\rangle }}$ a advancované naopak řešení s převráceným během času, jako rovinná vlna vylétá.

V třírozměrném prostoru je Greenův operátor ${\hat {G}}_{0}^{\pm }(E)$ v x-reprezentaci dán výrazem

$G_{0}^{\pm }(E)({\rm {{x},{\rm {{x'})=\langle {\rm {{x}|{\hat {G}}_{0}^{\pm }(E)|{\rm {{x'}\rangle =-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\exp(\pm ik|{\rm {{x}-{\rm {{x'}|)}}}}}{|{\rm {{x}-{\rm {{x'}|}}}}}}}}}}}}}}$

Lippmann-Schwingerova rovnice má pak v x-reprezentaci tvar

$\psi _{\rm {p}}^{+}({\rm {{x})={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{\frac {3}{2}}}}e^{i{\rm {{p}\cdot {\rm {x}}}}}-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}\int d^{3}x'{\frac {\exp(ik|{\rm {{x}-{\rm {{x'}|)}}}}}{|{\rm {{x}-{\rm {{x'}|}}}}}}V({\rm {{x'})\psi _{\rm {p}}^{+}({\rm {{x'})}}}}}}$,

kde

$\psi _{\rm {p}}^{+}({\rm {{x})=\langle {\rm {{x}|\psi _{\rm {p}}^{+}\rangle }}}}$

a

${\rm {{k}={\frac {1}{\hbar }}{\rm {p}}}}$.

Z vyjádření v x-reprezentaci je zřejmé, že jde v tomto případě o integrální rovnici.

Metody řešení

Z matematického pohledu je Lippmannova-Schwingerova v souřadnicové reprezentaci integrální rovnicí Fredholmova typu. Lze ji řešit pomocí diskretizace integrálu, což ji převede na soustavu lineárních rovnic. Další možností je využít ekvivalence Lippman-Schwingerovy rovnice se Schrödingerovou rovnicí a řešit místo integrální tuto diferenciální rovnici se správnou okrajovou podnínkou. V případě sféricky symetrického potenciálu $V$ se rovnice většinou řeší metodou parciálních vln. Pro vysoké srážkové energie nebo slabé potenciály lze rovnici řešit poruchovým rozvojem (Bornova řada). Zobecnění Lippman Schwingerovy rovnice pro mnohočásticové srážky, například v jaderné či molekulové fyzice se obvykle řeší pomocí metody R-matice navržené Wignerem a Eisenbudem. Další třída metod vychází ze separabilního rozkladu potenciálu nebo Greenova operátoru jako je metoda řetězových zlomků Horáčka a Sasakawy. Důležitá třída metod je založena na variačních principech, například ze Schwingerova variačního principu vychází Schwinger-Lanczosova metoda, která kombinuje variační princip Juliana Schwingera a Lanczosův algoritmus.