Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsingu

editovat
Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model   teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin   rozšiřující  , tj.  . V této situaci mohou existovat prvky modelu  , které nejsou prvky  , ale jsou podmnožinami  , tj. taková  , že   a   (taková x jsou pak „polomnožinami“ v  ). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model   ležící mezi   a  , tj. takový, který obsahuje všechny prvky   a navíc i některé podmnožiny  , které v   neleží, ale leží v  .

Myšlenku konstrukce modelu   lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny  , které v novém modelu   mají být, lze ohodnotit číslem   a zbylé množiny číslem  . Protože však předem nevíme, které množiny musí v   být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry  . Každé podmnožině   pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota  , která určuje „míru“ jejího náležení do  . Ty množiny, které do   nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru   na  . Přesněji   právě tehdy když je booleovská hodnota   v  .

Pozadí

editovat

Zermelova–Fraenkelova axiomatizace teorie množin (značená ZF) byla vytvořena jako pokus reprezentovat matematickou pravdu (to, co opravdu „platí“) ve všech disciplínách matematiky. Ukázalo se, že bez AC (axiom výběru) v ní nelze dokázat některé důležité věty i evidentně pravdivá tvrzení. Zároveň však AC vedl k řadě paradoxů a potíží: nekonstruktivní důkazy, Banachův–Tarského paradox atd.

Matematiky proto počátkem 20. století rozdělovala otázka, zda AC přijmout, tj. pokládat za pravdu vše, co z něho plyne. Zkoumali, zda z axiomů ZF je AC dokazatelný (tj. „ZF + negace AC“ je sporná) nebo je dokazatelná jeho negace, tj. je sporná teorie „ZF+AC“, zvaná též „ZFC“. Ve 30. letech Kurt Gödel dokázal pomocí konstruovatelných množin, že ZFC je relativně bezesporná vůči ZF – tj. je bezesporná, pokud je bezesporná ZF (což je nemožné ověřit vzhledem k druhé Gödelově větě o neúplnosti).

Otázka, zda ZF s negací AC je bezesporná (relativně vůči ZF), odolávala úsilí matematiků mnohem déle, protože chyběly prostředky, jak tvořit nové modely. Tuto potřebu forsing naplnil mj. tím, že

  • Prokázal relativní bezespornost teorie „ZF + non AC“ a teorie „ZFC + non GC“.
  • Flexibilita forsingu dává značnou míru kontroly nad vlastností kontinua a dalších kardinálů. Je možné (je-li ZF bezesporná) forsingem vytvořit model, ve kterém prvním kardinálem, na němž GCH (zobecněná hypotéza kontinua) neplatí, je   (Alef 0), tedy neplatí ani samotná hypotéza kontinua. Lze vytvořit model, kde je jím  ,   atd.; model, kde je jím  ,   atd. (Teorie je bezesporná, právě když má nějaký model - Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky.)
  • Lze vytvořit modely, kde je AC porušen konkrétním způsobem, tj. v nichž neplatí některé konkrétní důsledky AC, jako např. Banachův–Tarského paradox nebo existence lebesgueovsky neměřitelné množiny atd.

Konstrukce generických rozšíření

editovat

Pro sestrojení rozšíření   k danému modelu   se používá technika booleovských jmen.

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC:

Literatura

editovat