Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsinguEditovat

Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model   teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin   rozšiřující  , tj.  . V této situaci mohou existovat prvky modelu  , které nejsou prvky  , ale jsou podmnožinami  , tj. taková  , že   a   (taková x jsou pak „polomnožinami“ v  ). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model   ležící mezi   a  , tj. takový, který obsahuje všechny prvky   a navíc i některé podmnožiny  , které v   neleží, ale leží v  .

Myšlenku konstrukce modelu   lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny  , které v novém modelu   mají být, lze ohodnotit číslem   a zbylé množiny číslem  . Protože však předem nevíme, které množiny musí v   být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry  . Každé podmnožině M pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota  , která určuje „míru“ jejího náležení do  . Ty množiny, které do M[G] nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru   na  . Přesněji   právě tehdy když je booleovská hodnota   v  .

Konstrukce generických rozšířeníEditovat

Pro sestrojení rozšíření   k danému modelu   se používá technika booleovských jmen.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC:

LiteraturaEditovat