Wikipedista:Jirka Fiala/Pískoviště - pl

Vedlejší – determinant čtvercové matice vzniklé z dané matice smazáním určitého počtu jejích řádků a sloupců . Hlavní moll je moll, ve kterém byly při mazání ponechány řádky a sloupce se stejnými indexy, zatímco hlavní moll je dur moll, ve kterém byly poslední řádky a sloupce vymazány jeden po druhém.

Příklad

Buď matice

$A={\begin{bmatrix}1&3&4&2\\0&3&1&1\\7&1&3&4\end{bmatrix}}$

typ $3\times 4$ přes pole reálných čísel .

Vymazáním druhého řádku a druhého a třetího sloupce, tedy ponecháním prvků na průsečíku řádků s indexy ze sady $I=\{1,3\}$ a sloupce s indexy ze sady $J=\{1,4\}$ dostanete vedlejší rovný

${\begin{vmatrix}1&\Box &\Box &2\\\Box &\Box &\Box &\Box \\7&\Box &\Box &4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2\\7&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 7=4-14=-10.$

Výše uvedená vedlejší není hlavní, protože $I\neq J.$ Hlavní moll matice $A$ je například vedlejší

${\begin{vmatrix}3&1\\1&3\end{vmatrix}}=8$

tvořený průnikem indexovaných sloupců a řádků $2$ a $3.$

Přední vedlejší majory matice $A$ jsou (ve vzestupném pořadí stupňů):

${\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}}=1,\quad {\begin{vmatrix}1&3\\0&3\end{vmatrix}}=3,\quad {\begin{vmatrix}1&3&4\\0&3&1\\7&1&3\end{vmatrix}}=-55.$

Definice

Pro danou matici $A$ typ $m\times n$ vedlejší stupeň $k,$ Kde $k\leqslant \min(m,n)$ se nazývá determinant čtvercové matice stupně $k$ získané z matrice $A$ vymazáním $m-k$ básně a $n-k$ sloupců.

Přesněji řečeno, operace vykreslování spočívá v naznačení určité dílčí posloupnosti indexů $I$ čáry délky $k$ a podřetězec indexů $J$ sloupce na délku $k$ z maticové domény, tj. kartézského součinu $\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}.$ Tato vybraná sada indexů $I=\{i_{1},\dots ,i_{k}\}\times \{j_{1},\dots ,j_{k}\}$ se pak použije k výpočtu determinantu matice $A(I\times J).$

Li $I=J$ mají po $k$ elementy, což znamená, že řádky a sloupce se stejnými indexy byly odstraněny a ponechány $k$ v obou případech se takový nezletilý nazývá major moll $k.$ Menší hlavní diplom $k,$ ze kterého byl vymazán poslední $m-k$ básně a $n-k$ sloupce, takže $I=J=\{1,2,\dots ,k\},$ se nazývá hlavní major minor $k.$

Někdy jsou hlavní nezletilí hlavní nezletilí nazýváni hlavními nezletilými, zatímco ty první se zanedbávají.

Někdy se nezletilí matice označují: $(A_{i}),$$(A^{a}),$$(A_{i}A_{j})=-(A_{j}A_{i}),$$(A^{a}A^{b})=-(A^{b}A^{a}),$$(A_{i}A_{j}A_{k}),$$(A^{a}A^{b}A^{c}),$ atd., kde $(A_{i})$ jsou sloupce, $(A^{a})$ řádky matice $(A_{i}^{a}),$ a $(A_{i}A_{j})$ je smíšený produkt .

Vlastnosti

• Definice (vlastnosti) determinantu ukazuje, že minoritní stupně 1 dané matice jsou jejími prvky, velké minoritní stupně 1 jsou prvky z hlavní úhlopříčky matice a vedoucí dur minor stupně 1 je prvek s indexem $1,1.$
• Z definice (vlastností) řádu matice vyplývá, že pro matici řádu $r>0$ nad některým tělesem je alespoň jeden nenulový moll stupně $r,$ a každý nezletilý o stupeň vyšší než $r$ této matice se rovná nule ( řádek matice je tedy největší možný rozměr nenulové minority dané matice).
• Sylvesterovo kritérium : Hermitova matice (ve složitém případě; ve skutečném případě: symetrická ) $A$ Je
  • kladná, definitivní tehdy a pouze tehdy, jsou-li všechny její hlavní hlavní minority kladné;
  • záporná definitiva tehdy a jen tehdy, když hlavní major minor sudého stupně jsou kladné a lichého stupně záporné.
• Pro danou matici $m\times n$ lze vybrat ${\tbinom {n}{k}}{\tbinom {m}{k}}$ vedlejší titul $k$ (Kde ${\tbinom {\cdot }{\cdot }}$ označuje Newtonův symbol ).
• Typová matice $m\times n$ má $\min(m,n)$ vedoucí major minors a čtvercová matice stupňů $n$ má je přesně $n.$