Sylvesterovo kritérium

Sylvesterovo kritérium, též Sylvesterovo kriterium pozitivní definitnosti, pojmenované po Jamesovi Sylvesterovi, je matematické kritérium kterým lze rozhodnout, zdali je reálná symetrická matice či komplexní hermitovská matice pozitivně definitní.

Znění kritéria editovat

Nechť ${\boldsymbol {A}}$ je symetrická matice, kde

{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}

.

a $D_{1},D_{2},\ldots ,D_{n}$ jsou determinanty následujících hlavních podmatic matice ${\boldsymbol {A}}$ :

D_{1}=|a_{11}|,\quad D_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\quad \ldots ,\quad D_{n}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\det {\boldsymbol {A}}

.

Matice ${\boldsymbol {A}}$ je pozitivně definitní, právě když jsou všechny determinanty $D_{1},D_{2},\ldots ,D_{n}$ kladné.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Sylvestrovo kritérium na slovenské Wikipedii.

BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
JUKL, Marek. Bilineární a kvadratické formy. In: Olomouc: Univerzita Palackého, Přírodovědecká fakulta, 2000. Dostupné online. ISBN 80-244-0170-3. S. 53–57.