Stolzova věta
Stolzova věta nebo Stolzova-Cesàrova věta je věta matematické analýzy, která slouží k výpočtu limity podílu dvou posloupností. Stolzova věta je obdobou L'Hospitalova pravidla pro limity funkcí
Znění věty editovat
Nechť a jsou dvě reálné posloupnosti, přičemž je ostře rostoucí posloupnost nenulových čísel rostoucí nade všechny meze. Nechť navíc existuje limita
Potom také limita existuje a je rovna číslu .
Důkaz editovat
Důkaz Stolzovy věty může být založen přímo na definici limity posloupnosti. Z předpokladů víme, že pro každé existuje takové, že platí:
kde je předpokládaná limita posloupnosti. Z předpokladu, že řada ostře roste, odvodíme, že jmenovatelé jsou vždy kladní, a smíme tedy jimi nerovnici vynásobit beze změny směru nerovností. Dostaneme:
Nechť dále je nějaké přirozené číslo větší než a zároveň takové, aby (jeho existence plyne z předpokladu, že posloupnost diverguje). Sečtěme poslední uvedenou nerovnost od po a dostaneme:
V sumách se však všechny mezilehlé členy navzájem vyruší, takže dostaneme:
což po vydělení kladným číslem dává:
z čehož po přičtení čísla dospějeme k nerovnici
Protože posloupnost diverguje, můžeme s rostoucím učinit členy a libovolně malými. V limitním přechodu pro rostoucí do nekonečna tedy dostaneme nerovnici:
a je zároveň vidět, že limita existuje, jelikož členy posloupnosti dokážeme pro dosti vysoké omezit na libovolně malý interval kolem čísla , a to je již tvrzení, které jsme chtěli dokázat.
Příklad editovat
Mějme za úkol vypočítat
Řešení: Protože jsou splněny předpoklady Stolzovy věty ( a po provedení následujícího výpočtu uvidíme, že i druhý předpoklad je splněn), můžeme větu aplikovat:
Protože jsme zároveň ověřili, že předpoklady Stolzovy věty platí, můžeme tvrdit, že limita posloupnosti v zadání je rovna 2/3. Přitom jsme při druhé úpravě rozložili jmenovatele podle vzorce a při třetí jsme zlomek rozšířili výrazem , přičemž se první činitel ve jmenovateli vynásobil podle vzorce . Čtvrtá úprava znamená roznásobení závorky v čitateli a vytknutí n, pátá vykrácení zlomku číslem n, šestá limitní přechod pro jednotlivé členy čitatele i jmenovatele.
Související články editovat
Externí odkazy editovat
- (anglicky) Důkaz Stolzovy věty Archivováno 30. 1. 2008 na Wayback Machine.
- Přednáška prof. Ing. Edity Pelantové, CSc., o Stolzově větě