L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo umožňuje za určitých předpokladů vypočítat limitu ve vlastním či nevlastním bodě podílu dvou reálných funkcí reálné proměnné v případě, že výpočet limity podílu vede na neurčitý výraz. Říká, že limita podílu dvou funkcí, které splňují jisté předpoklady, je rovna limitě podílu derivací těchto funkcí:

.

Pravidlo bylo poprvé publikováno matematikem Guillaumem de l'Hôpitalem v jeho knize Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes[1], avšak objevitelem je pravděpodobně Johann Bernoulli, z jehož přednášek L'Hospital svou knihu sestavoval.

Předpoklady platnosti editovat

Nenulovost funkcí ve jmenovateli editovat

Funkce   a   musí být nenulové na nějakém okolí čísla   (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou), pokud např.  , pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval   pro nějaké  , takže například funkce   předpoklad nesplňuje.

Typ limity na levé straně editovat

Musí platit právě jedna z uvedených podmínek:

  •  
  •   a  .

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo limita ve jmenovateli nevlastní. Tyto případy jsou nazývány limita typu   resp.  . Příkladem jsou funkce   a  , které tento předpoklad nesplňují. Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Existence limity na pravé straně editovat

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita  . Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Příkladem jsou funkce   a   pro  . Pro ně platí  , první člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí   a  . Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule, což plyne z toho, že pro každé   leží   v intervalu  .

Příklad editovat

 
Graf funkce k příkladu.

Určeme limitu  , tj.   a  .

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý, je nutno ověřit existenci limity podílu prvních derivací uvedených funkcí  . Ověření provedeme opakovanou aplikací L'Hospitalova pravidla na limitu podílu prvních derivací uvedených funkcí , tj. limita podílu druhých derivací uvedených funkcí je pak  . Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady opakované aplikace L'Hospitalova pravidla, proto platí  . Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hospitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí  .

Odkazy editovat

Reference editovat

  1. l’Hospital, Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, strany 145–146

Literatura editovat

  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články editovat

Externí odkazy editovat