Norma (matematika)
Norma je pozitivně homogenní, subaditivní a pozitivně definitní funkce, která každému nenulovému vektoru z nějakého vektorového prostoru přiřazuje reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. Podobná je seminorma, u které se však nepožaduje pozitivní definitnost, takže se připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.
Definice editovat
Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je
- pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V;
- subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.
Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.
Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:
- p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.
Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.
Příklady editovat
- Každá norma je seminorma.
- Absolutní hodnota je norma na reálných číslech.
- Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.
Eukleidovská norma editovat
Na prostoru lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x1, x2, ..., xn) jako
Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).
p-norma editovat
Nechť p ≥ 1 je reálné číslo.
Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).
Maximová norma editovat
Norma na prostoru se skalárním součinem editovat
Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu
Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost
Vlastnosti editovat
Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).
Normy ||•||α and ||•||β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že
pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||1, ||•||2 a ||•||∞ jsou ekvivalentní na prostoru :
Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.
Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny editovat
Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.
Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μC známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná
Pro tuto seminormu platí
Související články editovat
Externí odkazy editovat
- Obrázky, zvuky či videa k tématu norma na Wikimedia Commons