Wikipedista:D71STSI/Pískoviště 2

V geometrii patří kruhová inverze mezi geometrická zobrazení, které studuje tzv. inverzní geometrie. Mnoho obtížných problémů v geometrii se stává mnohem lépe zvládnutelnými, když je aplikována inverze. Inverze studovala řada matematiků současně, včetně Steinera (1824), Queteleta (1825), Bellavitis (1836), Stubbse a Ingrama (1842-3) a Kelvina (1845).

Definice kruhové inverze

K tomu abychom mohli definovat kruhovou inverzi je nutné rozšířit euklidovskou rovinu $E_{2}$ o jeden nevlastní bod v nekonečnu (Möbiův bod) $M$$\infty$. Tento bod leží na všech přímkách roviny a je vně každé kružnice roviny. O tento bod rozšíříme euklidovskou rovinu na Möbiovu rovinu.

Kruhová inverze je geometrické zobrazení určené základní neboli řídící kružnicí ω ( $S,r$ ), které bodu $X$ přiřadí obraz bod $X'$ podle následujících pravidel:

• $X'$ leží na polopřímce $SX'$
• Platí $|SX|.|SX'|=r^{2}$
• Je-li $S$ $(X=S)$, pak $X$′ = $M$$\infty$ tj. obrazem středu S kružnice ω je bod M$\infty$. Jinak řečeno obrazem bodu $X$ ležícím na středu řídící kružnice $S$ $(X=S)$, je bod $X$′ nacházející se v nevlastním bodu roviny tj. v nekonečnu.
• Je-li $X$ = $M$$\infty$, pak $X$′ = $S$. tj obrazem $M$$\infty$ je střed $S$ kružnice ω, neboli obrazem bodu $X$ ležícím v nevlastním bodu roviny tj. nekonečnu, je bod $X'$ ležící ve středu řídící kružnice ($X'=S$ ).
• Pro ($X\neq S$) ani pro $X\neq$ $M$$\infty$, pak obraz bod $X$′ je ten bod polopřímky SX, pro nějž platí $|SX'|.|SX|=r^{2}$. Obrazem libovolného bodu $X\neq S$ je bod $X'$ polopřímky $SX$, pro nějž platíː$|SX'|.|SX|=r^{2}$

Euklidovská konstrukce kruhové inverze

Konstrukce kruhové inverze bodu X

Vlastnosti kruhové inverze

Každý bod ležící na řídící kružnici v kruhové inverzi je samodružný.

Kruhová inverze je involucí, tj bodu X v kruhové inverzi ω odpovídá obraz X' a bodu X' naopak obraz X.

Body ve vnější oblasti řídící kružnice se zobrazí do vnitřní oblasti řídící kružnice a naopak.