Weierstrassova funkce

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi, je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci (není nikde hladká).

Weierstrassova funkce s konstantami $a=0,5$; $b=3$

Ukázka soběpodobnosti

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.

Definice

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

• Podle původní publikace (http://historical.library.cornell.edu/…), en:Weierstrass function a http://planetmath.org/… Archivováno 12. 3. 2007 na Wayback Machine:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)$

kde $0<a<1$, $b$ je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi$

Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou $ab\geq 1$.

• Podle http://mathworld.wolfram.com/…:

Riemannova funkce, $a=2$

$f_{a}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(\pi k^{a}x)}{\pi k^{a}}}\,$

přičemž údajně podle původní publikace $a=2$. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.

• Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.

Související články

• Rozumná funkce
• Riemannova funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Weierstrassova funkce na Wikimedia Commons

Reference

Portály: Matematika