Věta o inverzní funkci

Věta o inverzní funkci v diferenciálním počtu v matematice je postačující podmínka, aby k funkci existovalo inverzní zobrazení v okolí nějakého bodu svého definičního oboru: musí existovat derivace této funkce, která je spojitá a v daném bodě nenulová. Věta také udává vzorec pro derivaci inverzní funkce. V diferenciálním a integrálním počtu funkcí mnoha proměnných lze tuto větu zobecnit na jakoukoli spojitě diferencovatelnoo vektorovou funkci, jejíž Jacobián je nenulový v nějakém bodě jejího definičního oboru, což dává vzorec pro Jacobiho matici inverzní funkce. Existují také verze věty o inverzní funkci pro holomorfní funkce v oboru komplexních čísel, pro derivovatelná zobrazení mezi varietami, pro derivovatelná funkce mezi Banachovými prostory atd.

Tvrzení větyEditovat

Pro funkce jedné proměnné věta tvrdí, že pokud   je spojitě derivovatelná funkce s nenulovou derivací v bodě a, pak   je v okolí bodu a invertovatelná, inverzní funkce je spojitě derivovatelná, a derivace inverzní funkce v bodě   se rovná převrácené hodnotě derivace funkce   v bodě  [1]:

 

Alternativní verze, která předpokládá, že   je spojitá a prostá (injektivní) v okolí bodu a, diferencovatelná v bodě a s nenulovou hodnotou derivace, také vede k výsledku, že   má inverzní funkci v okolí bodu a, která je spojitá a injektivní, a pro kterou platí výše uvedený vzorec.[2]

Jasně vidíme, že důsledkem je, že pokud funkce   má v bodě a   nenulových derivací, pak má   inverzní funkci v okolí bodu a, která má také   derivací.   může být kladné celé číslo nebo  .

Pro funkce více než jedné proměnné věta tvrdí, že pokud F je spojitě derivovatelná funkce z otevřené podmnožiny   do   a totální derivace je invertovatelná v bodě p (tj. Jacobián funkce F v p je nenulový), pak F je invertovatelná v okolí p: inverzní funkce na F je definovaná na nějakém okolí bodu  . Pokud píšeme  , to znamená, že systém n rovnic   má jednoznačné řešení pro   kvůli/pomocí  , za předpokladu, že, které omezíme x a y na dostatečně malé okolí p a q, po řadě. V nekonečněrozměrném případě věta vyžaduje zvláštní hypotézu, podle které Fréchetova derivace funkce F v bodě pomezenou inverzi.

Věta navíc říká, že inverzní funkce   je spojitě derivovatelná a derivace jejího Jacobiánu v   je inverzní matice k Jacobiánu funkce F v bodě p:

 

Obtížnou částí věty je důkaz existence a derivovatelnosti inverzní funkce  . Z toho již vzorec pro derivaci inverzní funkce vyplývá z řetízkového pravidla použitého na  :

 

PříkladEditovat

Uvažujme vektorovou funkci   definovanou vztahem:

 

Její Jacobiho matice je:

 

a Jacobián:

 

Determinant   je všude nenulový. Věta tedy zaručuje, že pro každý bod p z  , existuje nějaké jeho okolí, na kterém je F invertovatelná. To neznamená, že F je invertovatelná na celém svém definičním oboru: v tomto případě není F ani injektivní, protože je periodická:  .

ProtipříkladEditovat

 
Funkce   je omezená v kvadratické obálce v okolí přímky  , takže  . Má však lokální extrémy hromadící se v bodě  , takže není vzájemně jednoznačným zobrazením na žádném okolním intervalu.

Vynecháme-li předpoklad, že derivace musí být spojitá, pak funkce nemusí být invertovatelná. Například   a   nemá spojitou derivaci   a  , která neexistuje libovolně blízko bodu  . Tyto kritické body jsou lokální extrémy funkce  , takže   není vzájemně jednoznačná (a není invertovatelná) na žádném intervalu, který obsahuje  . Intuitivně se směrnice   nerozšířuje na blízké body, ve kterých mají směrnice mírné, ale velmi rychlé oscilace.

Metody důkazuEditovat

Díky důležitosti věty o inverzní funkci existuje mnoho jejích důkazů. V učebnicích je obvykle uveden důkaz, který používá princip kontrakce známý také jako Banachova věta o pevném bodě (který lze také použít jako klíčový krok v důkazu existence a jednoznačnosti řešení obyčejné diferenciální rovnice).[3][4]

Protože věta o pevném bodě je platí i v nekonečněrozměrném (Banachově) prostoru, její důkaz lze okamžitě zobecnit na nekonečněrozměrnou verzi věty o inverzní funkci[5] (viz část Zobecnění níže).

Alternativní důkaz pro konečněrozměrný prostor je založen na Weierstrassově větě pro funkce na kompaktní množině.[6]

Důkaz, který používá Newtonovu metodu, má tu výhodu, že poskytuje efektivní verzi věty: meze derivace funkce dávají odhad velikosti okolí, na kterém je funkce invertovatelná.[7]

ZobecněníEditovat

VarietyEditovat

Větu o inverzní funkci lze přeformulovat pro derivovatelná zobrazení mezi derivovatelnými varietami. V tomto případě věta tvrdí, že pro derivovatelné zobrazení   (třídy  ), pokud diferenciál funkce  

 

je lineární izomorfismus v nějakém bodě   množiny  , pak existuje otevřené okolí   bodu   tak, že

 

je difeomorfismus. Z toho plyne, že M a N musí mít v bodě p stejný rozměr. Pokud derivace funkce F je izomorfismem pro všechny body p v M, pak zobrazení F je lokální difeomorfismus.

Banachovy prostoryEditovat

Věta o inverzní funkci může také být zobecněný na derivovatelná zobrazení mezi Banachovými prostory X a Y.[8] Nechť U jsou otevřené okolí počátku v X a   a spojitě derivovatelná funkce a předpokládáme, že Fréchetova derivace   funkce F v bodě 0 je omezený lineární izomorfismus z X na Y. Pak existuje otevřené okolí V bodu   v Y a spojitě derivovatelné zobrazení   tak, že   pro všechna y ve V. Navíc   je jediné dostatečně malé řešení x rovnice  .

Banachovy varietyEditovat

Uvedené dva směry zobecnění lze zkombinovat do věty o inverzní funkci pro Banachovy variety.[9]

Věta o konstantním rankuEditovat

Větu o inverzní funkci (a větu o implicitní funkci) lze chápat jako speciální případ věty o konstantním ranku, která říká, že hladké zobrazení s konstantním rankem v okolí bodu lze vyjádřit v určité normální formě v okolí tohoto bodu.[10] Konkrétně pokud   má konstantní rank v okolí nějakého bodu  , pak existuje otevřené okolí U bodu p a otevřené okolí V bodu   a existují diffeomorfismy   a   takové, že   tak, že derivace   se rovná  . To znamená, že funkce F „vypadá jako“ její derivace v okolí bodu p. Z polospojitosti rankové funkce plyne, že existuje otevřená hustá podmnožina definičního oboru funkce F, na které má derivace konstantním rank. Věta o konstantním ranku tedy platí v libovolném bodě definičního oboru.

Je-li derivace F injektivní (příp. surjektivní) v bodě p, pak je také injektivní (příp. surjektivní) v jeho okolí, a proto rank funkce F je na tomto okolí konstantní, a proto věta o konstantním ranku platí.

Holomorfní funkceEditovat

Pokud je holomorfní funkce F definovaná na otevřené podmnožině U prostoru  , kterou zobrazuje do   a komplexní derivace Jacobiho matice je invertovatelná v nějakém bodě p, pak F je invertovatelná funkce v okolí p. To okamžitě vyplývá z verze pro více reálných proměnných. Je možné také ukázat, že inverzní funkce je opět holomorfní.[11]

OdkazyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Jarník Diferenciální počet I, s. 216.
  2. Derivative of Inverse Functions [online]. 2016-02-28 [cit. 2019-07-26]. Dostupné online. (anglicky) 
  3. MCOWEN, Robert C. Partial Differential Equations: Methods and Applications. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-121880-8. Kapitola Calculus of Maps between Banach Spaces, s. 218–224. 
  4. TAO, Terence. The inverse function theorem for everywhere differentiable maps [online]. 2011-09-12 [cit. 2019-07-26]. Dostupné online. 
  5. JAFFE, Ethan. Inverse Function Theorem [online]. Dostupné online. 
  6. SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds. Boston: Addison-Wesley, 1965. ISBN 0-8053-9021-9. S. 31–35. 
  7. HUBBARD, John H.; HUBBARD, Barbara Burke. Vector Analysis, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach. Matrix. vyd. [s.l.]: [s.n.], 2001. 
  8. LUENBERGER, David G. Optimization by Vector Space Methods. New York: John Wiley & Sons, 1969. Dostupné online. ISBN 0-471-55359-X. S. 240–242. 
  9. LANG, Serge. Differential Manifolds. New York: Springer, 1985. Dostupné online. ISBN 0-387-96113-5. S. 13–19. 
  10. BOOTHBY, William M. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. 2. vyd. Orlando: Academic Press, 1986. Dostupné online. ISBN 0-12-116052-1. S. 46–50. 
  11. FRITZSCHE, K.; GRAUERT, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. [s.l.]: Springer, 2002. Dostupné online. S. 33–36. 

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Inverse function theorem na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat

  • ALLENDOERFER, Carl B. Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds. New York: Macmillan, 1974. ISBN 0-02-301840-2. Kapitola Theorems about Differentiable Functions, s. 54–88. 
  • BAXANDALL, Peter; LIEBECK, Hans. Vector Calculus. New York: Oxford University Press, 1986. ISBN 0-19-859652-9. Kapitola The Inverse Function Theorem, s. 214–225. 
  • NIJENHUIS, Albert. Strong derivatives and inverse mappings. Amer. Math. Monthly. 1974, roč. 81, čís. 9, s. 969–980. DOI:10.2307/2319298. 
  • PROTTER, Murray H.; MORREY, Charles B., Jr. Intermediate Calculus. 2. vyd. New York: Springer, 1985. ISBN 0-387-96058-9. Kapitola Transformations and Jacobians, s. 412–420. 
  • RENARDY, Michael; ROGERS, Robert C. An Introduction to Partial Differential Equations. 2. vyd. New York: Springer-Verlag, 2004. (Texts in Applied Mathematics 13). Dostupné online. ISBN 0-387-00444-0. S. 337–338. 
  • RUDIN, Walter. Principles of mathematical analysis. 3. vyd. New York: McGraw-Hill Book, 1976. (International Series in Pure a Applied Mathematics). Dostupné online. S. 221–223. 
  • JARNÍK, Vojtěch, 1984. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Academia. 392 s.