Věta o dimenzích součtu a průniku podprostorů

Věta o dimezích součtu a průniku podprostorů,^[1] též zvané věta o dimenzích spojení a průniku ^[2] apod. je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí dvou podprostorů téhož vektorového prostoru.

Jde o analogii principu inkluze a exkluze pro dva vektorové prostory.

Znění

Nechť $U$ a $V$ jsou dva podprostory téhož prostoru $W$ a oba mají konečnou dimenzi. Pak platí:

\dim U+\dim V=\dim(U\cap V)+\dim(U+V)

,

přičemž součet $U+V$ značí podprostor $W$ určený množinou $\{{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}:{\boldsymbol {u}}\in U,{\boldsymbol {v}}\in V\}$ .

Ukázky

Jsou-li $U$ a $V$ dvě roviny procházející počátkem v třírozměrném euklidovském prostoru $W=\mathbb {R} ^{3}$ , potom oba mají dimenzi 2, jejich průnikem je přímka, což je jednodimenzionální prostor a součtem $U+V$ je celý prostor $W=\mathbb {R} ^{3}$ .

Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:

\dim U+\dim V=2+2=1+3=\dim(U\cap V)+\dim(U+V)

Pro další ukázku nechť $U$ a $V$ jsou dva třídimezionální podprostory prostoru $W$ dimenze 5. Součet $U+V$ je též podprostorem $W$ , a tak jeho dimenze nemůže přesáhnout hodnotu 5.

Rovnost uvedená ve větě vede na odhad:

\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim(U+V)\geq 3+3-5=1

,

z něhož vyplývá, že lze nalézt alespoň jeden nenulový vektor ležící v $U$ a současně ve $V$ . Tato skutečnost vyplývá čistě ze znalostí dimenzí podprostorů $U$ a $V$ , aniž by bylo třeba zkoumat jejich další vlastnosti.

Důkaz

Protože $U\cap V$ je podprostorem prostoru $W$ , má nějakou bázi $\{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}$ , kde $k=\dim(U\cap V)$ .

Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů $\{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}$ o celkem $l$ lineárně nezávislých vektorů ${\boldsymbol {u}}_{k+1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k+l}$ na bázi podprostoru $U$ . Podobně lze tutéž množinu $\{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k}\}$ rozšířit o vektory ${\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}$ na bázi prostoru $V$ . Z konstrukce vyplývá, že $\dim U=k+l$ a $\dim V=k+m$ .

Zbývá ověřit, že množina $B=\{{\boldsymbol {u}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k+l},{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}\}$ je jednou z možných bází podprostoru $U+V$ .

Libovolné vektory ${\boldsymbol {u}}\in U$ a ${\boldsymbol {v}}\in V$ jsou lineárními kombinacemi vektorů z $B$ , a proto tato množina generuje podprostor $U+V$ .

V hypotetické situaci, kdyby množina $B$ netvořila bázi a byla tudíž lineárně závislá, bylo by možné najít koeficienty $a_{1},\dots ,a_{k+l},b_{1},\dots ,b_{m}$ netriviální lineární kombinace takové, že:

\sum _{i=1}^{k+l}a_{i}{\boldsymbol {u}}_{i}+\sum _{i=1}^{m}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}={\boldsymbol {0}}

Potom by vektor ${\boldsymbol {w}}$ , daný výrazem ${\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{k+l}a_{i}{\boldsymbol {u}}_{i}$ , splňoval i ${\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{m}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}$ . Protože by v alespoň jedné z těchto rovností byl na pravé straně nenulový koeficient u alespoň jednoho z členů, a vektory v obou kombinacích jsou lineárně nezávislé, byl by vektor ${\boldsymbol {w}}$ nenulový. V důsledku by obě lineární kombinace byly netriviální.

Ovšem z první z kombinací vyplývá ${\boldsymbol {w}}\in U$ , z druhé ${\boldsymbol {w}}\in V$ , v důsledku ${\boldsymbol {w}}\in U\cap V$ , a tak jediné nenulové koeficienty mohou být z množiny $a_{1},\dots ,a_{k}$ . V důsledku by druhá lineární kombinace byla triviální, čili ${\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{m}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}=\sum _{i=1}^{m}0{\boldsymbol {v}}_{i}={\boldsymbol {0}}$ , což není možné.

Proto zkoumaný předpoklad, že by množina $B$ byla lineárně závislá, je sporný. Množina $B$ je ve skutečnosti lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru $U+V$ .

Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:

\dim U+\dim V=(k+l)+(k+m)=k+(k+l+m)=\dim(U\cap V)+\dim(U+V)

Dlužno podotknout, že v uvedené konstrukci mohou být jeden i více parametrů $k,l,m$ nulových, což pak odpovídá situaci, kdy prostory $U$ a $V$ jsou až na počátek disjuktní, nebo jsou v inkluzi, či se shodují.

Odkazy

Reference

↑ BARTO, Libor; TŮMA, Jiří. Lineární algebra [online]. [cit. 2024-09-02]. S. 180. Dostupné online.
↑ BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. S. 90.

Literatura

BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.

Související články

[1] BARTO, Libor; TŮMA, Jiří. Lineární algebra [online]. [cit. 2024-09-02]. S. 180. Dostupné online.

[2] BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. S. 90.

[1]

[2]