Otevřít hlavní menu

Testování statistických hypotéz umožňuje posoudit, zda experimentálně získaná data vyhovují předpokladu, který jsme před provedením testování učinili. Můžeme například posuzovat, zda platí předpoklad, že určitý lék je účinnější než jiný; nebo například, zda platí, že úroveň matematických dovedností žáků 9. tříd je nezávislá na pohlaví a na regionu.

Statistická hypotézaEditovat

Jako statistickou hypotézu chápeme určitý předpoklad o rozdělení náhodných veličin. Jestliže se tyto předpoklady týkají hodnot parametrů rozdělení náhodné veličiny, pak hovoříme o parametrických hypotézách. V opačném případě se jedná o hypotézy neparametrické.

Jsou-li hypotézou specifikovány všechny parametry rozdělení sledované veličiny, tzn. rozdělení je určeno jednoznačně, pak říkáme, že hypotéza je jednoduchá. Pokud není některý parametr rozdělení specifikován jednoznačně, např. je vymezen intervalem, pak hovoříme o složené hypotéze.

Statistický testEditovat

Při testování statistických hypotéz se vždy porovnávají dvě hypotézy. První hypotéza, nulová (testovaná), je hypotéza, která se testuje; značí se obvykle  . Druhou hypotézou je alternativní hypotéza, obvykle značená  .

Testování platnosti nulové hypotézy   je založeno na následující úvaze:

  • Předpokládá se, že hypotéza   platí.
  • Rozhodne se, kterým náhodným pokusem (například založeném na náhodném výběru) se hypotéza ověří. Určí se, která náhodná veličina bude výsledkem pokusu.
  • Stanoví se hladina významnosti   neboli pravděpodobnost (míru rizika) toho, že hypotéza   bude neoprávněně zamítnuta, ačkoliv platí (viz též dále chyba I. druhu).   se přitom stanovuje jako malé, obvykle 0,05 a nižší (tuto hodnotu zavedl do statistiky v roce 1925 Ronald Fisher [1]).
  • V oboru možných hodnot zvolené náhodné veličiny se určí taková část, do níž za platnosti   padne výsledek veličiny s pravděpodobností  . Tato část oboru možných hodnot se nazve kritický obor.
  • Pokud nyní hodnota náhodné veličiny padne do kritického oboru, nulová hypotéza se zamítne, neboť nastal jev, který by za platnosti   měl jen velmi nízkou pravděpodobnost, jeho výskyt tudíž svědčí proti platnosti nulové hypotézy.

Výsledkem testu je rozhodnutí o nulové hypotéze. Přijetí hypotézy   znamená, že je považována za možnou. Zamítnutí hypotézy   je ekvivalentní přijetí hypotézy  . Testování hypotéz je tedy proces, při němž se na základě náhodného výběru rozhoduje pro testovanou nebo alternativní hypotézu.

Samotný postup testování hypotéz se nazývá statistický test (test významnosti).

Testuje-li se neznámý parametr  , pak se testovanou (nulovou) hypotézu zapisuje jako

 

Alternativní hypotézu pak formulujeme jedním z následujících způsobů

 
 
 
 

První formulace alternativní hypotézy   je používána pouze v případě, kdy se rozhoduje mezi dvěma hodnotami   a  . Další dva případy se používají tehdy, má-li dokázat, že odchylka od   je pouze v jednom směru. Alternativní hypotéza formulovaná posledním vztahem pouze popírá testovanou hypotézu  .

Testovací kritériumEditovat

K otestování nulové hypotézy   proti alternativní hypotéze   použijeme statistiku  , kterou označujeme jako testovací kritérium. Testovací kritérium je funkce náhodného výběru, která má vztah k nulové hypotéze, a jejíž rozdělení za předpokladu platnosti nulové hypotézy známe. Obor možných hodnot testovacího kritéria rozdělíme na dva neslučitelné obory. Jedním z nich je obor přijetí testované hypotézy   a druhým je kritický obor  . Pokud výběrová hodnota testovacího kritéria padne do oboru přijetí testované hypotézy, pak nezamítáme nulovou hypotézu. Padne-li tato hodnota do kritického oboru, nulovou hypotézu zamítáme.

Kritický obor oddělují od oboru přijetí tzv. kritické hodnoty, což jsou kvantily rozdělení testovacího kritéria při platnosti  .

Místo porovnání hodnoty testovacího kritéria s kritickými hodnotami se pro rozhodování o nulové hypotéze používá též p-hodnota, zejména při použití statistického software. Význam p-hodnoty objasní následující postup.

  1. Nechť testovací kritérium   nabylo při testování hodnoty  .
  2. Obor možných hodnot testovacího kritéria se číslem   rozdělí na dvě části:
    • obor  , v němž jsou všechny takové hodnoty testovacího kritéria  , jež svědčí pro platnost   více než nebo stejně jako číslo  
    • obor  , v němž jsou všechny takové hodnoty testovacího kritéria  , jež svědčí proti platnosti   více než číslo  
  3. P-hodnota je pravděpodobnost, že výsledek testovacího kritéria   za platnosti   padne do oboru  .
  4. Je-li p-hodnota menší než předem stanovené  , nulovou hypotézu zamítáme.

P-hodnota tedy znamená, zjednodušeně řečeno, jaká je pravděpodobnost, že by testovací kritérium dosáhlo své hodnoty, případně hodnot ještě více svědčících proti  , pokud by   opravdu platila. Čím menší p-hodnota, tím nepravděpodobnějšího výsledku (za předpokladu platnosti  ) bylo dosaženo.

Výhoda p-hodnoty je v tom, že její výpočet nezávisí na konkrétní volbě  . Není tak nutné znát kritické hodnoty pro různé volby  , p-hodnota obsahuje dostatečnou informaci sama o sobě.

Chyby testuEditovat

Uvedený postup může také vést k chybnému zamítnutí testované hypotézy (tzv. chyba I. druhu) nebo k chybnému přijetí testované hypotézy (tzv. chyba II. druhu).


Pravděpodobnost chyby I. druhu je označována jako hladina významnosti testu.

 

Pravděpodobnost, že hodnota testovacího kritéria padne do oboru přijetí  , jestliže platí  , tzn. pravděpodobnost chyby II. druhu, je

 

Doplněk k   se nazývá síla testu (hovoříme také o silofunkci), a jako dostatečná hodnota se zpravidla uvažuje 0,8 a vyšší:

 

Postup při testováníEditovat

Při volbě testovacího postupu je naším cílem, aby chyby testu byly co nejmenší. Lze dokázat, že za daných podmínek vede snižování   k růstu   a naopak.

Při testování obvykle postupujeme tak, že nejdříve formulujeme nulovou a alternativní hypotézu. Poté pevně zvolíme hladinu významnosti   (obvykle se volí   a nižší). Nalezneme vhodné testovací kritérium, odvodíme jeho pravděpodobnostní rozdělení při platnosti  . Dále vymezíme kritický obor s ohledem na formulaci hypotézy  . Vypočteme testovací kritérium   a určíme kritické hodnoty testovacího kritéria. Jestliže  , pak hypotézu   zamítáme a říkáme, že s pravděpodobností   platí hypotéza  . Pokud  , pak hypotézu   považujeme za neprokázanou. V takové případě neprovádíme úsudek o platnosti  , nechceme-li se zabývat sílou testu.

Moderní statistické programy při výpočtech předkládají přímo pravděpodobnost chyby prvního druhu, označovanou jako „Sig.“ nebo „P-value“, kterou porovnáváme se zvolenou hladinou významnosti (typicky 0,05). Tyto programy hodnoty pro vyšší přehlednost často označují hvězdičkami, jedna hvězdička pro hladinu nižší než 0,05, dvě pro p-value nižší než 0,01 a tři pro 0,001.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. SOUKUP, Petr. Nesprávná užívání statistické významnosti a jejich možná řešení. Data a výzkum - SDA Info [online]. 2010 [cit. 31.7.2012]. Roč. 4, čís. 2, s. 77-104. Dostupné online. ISSN 1802-8152. 

Související článkyEditovat