Otevřít hlavní menu

Symetrická grupa je termín z matematiky, z teorie grup. Jedná se o grupu permutací, jejímž nosičem je množina všech permutací množiny, neboli všechny bijekce této množiny na sebe samu a operací je skládání těchto zobrazení. Symetrická grupa n-prvkové množiny se značí .

VlastnostiEditovat

Symetrická grupa n-prvkové množiny  n! (n faktoriál) prvků.

Podle Cayleyovy věty o reprezentaci je každá grupa G isomorfní podgrupě symetrické grupy na G.

Symetrická grupa   je nekomutativní pro n>2. Obsahuje normální podgrupu   všech sudých permutací, která je jednoduchá pro  .

Počet konjugačních tříd   je Par(n), tj. počet možností, jak číslo n napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích ireducibilních reprezentací. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi obecné lineární grupy  .

Symetrická grupa   nemá žádné vnější automorfismy s výjimkou  . Grupa   má grupu vnějších automorfizmů  .

PříkladEditovat

Symetrická grupa   je isomorfní grupě symetrie rovnostranného trojúhelníka, kterou tvoří shodnosti zobrazující tento trojúhelník na sebe sama. Je to tedy zároveň dihedrální grupa  . Má 6 prvků (3 zrcadlení a 3 otočení) a je nekomutativní. Je to nekomutativní grupa s nejmenším možným počtem prvků, neisomorfní šestiprvkové grupy jsou komutativní.

ReferenceEditovat

  • Bruce Eli Sagan, The symmetric group, Springer, 2001