Symetrická grupa

Symetrická grupa je termín z matematiky, z teorie grup. Jedná se o grupu permutací, jejímž nosičem je množina všech permutací množiny, neboli všechny bijekce této množiny na sebe samu a operací je skládání těchto zobrazení. Symetrická grupa n-prvkové množiny se značí $S_{n}$.

Vlastnosti

Symetrická grupa n-prvkové množiny $S_{n}$ má n! (n faktoriál) prvků.

Podle Cayleyovy věty o reprezentaci je každá grupa G isomorfní podgrupě symetrické grupy na G.

Symetrická grupa $S_{n}$ je nekomutativní pro n>2. Obsahuje normální podgrupu $A_{n}$ všech sudých permutací, která je jednoduchá pro $n\geq 5$.

Počet konjugačních tříd $S_{n}$ je Par(n), tj. počet možností, jak číslo n napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích ireducibilních reprezentací. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi obecné lineární grupy $Gl(n,\mathbb {C} )$.

Symetrická grupa $S_{n}$ nemá žádné vnější automorfismy s výjimkou $n=6$. Grupa $S_{6}$ má grupu vnějších automorfizmů $Out(S_{6})\simeq \mathbb {Z} _{2}$.

Příklad

Symetrická grupa $S_{3}$ je isomorfní grupě symetrie rovnostranného trojúhelníka, kterou tvoří shodnosti zobrazující tento trojúhelník na sebe sama. Je to tedy zároveň dihedrální grupa $D_{3}$. Má 6 prvků (3 zrcadlení a 3 otočení) a je nekomutativní. Je to nekomutativní grupa s nejmenším možným počtem prvků, neisomorfní šestiprvkové grupy jsou komutativní.

Reference

• Bruce Eli Sagan, The symmetric group, Springer, 2001

Autoritní data	BNF: cb12364813q (data) LCCN: sh85131444 NLI: 987007553676705171