Substituce (matematika)

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější).

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

1. $2^{2x}+2^{x}-6=0$
2. Zavedeme substituci $a=2^{x}$:
   $a^{2}+a-6=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-1\pm {\sqrt {25}}}{2}}={\frac {-1\pm 5}{2}}$
   
   $a_{1}={\frac {-1+5}{2}}={\frac {4}{2}}=2$
   
   $a_{2}={\frac {-1-5}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $2=2^{x}$
   2. $-3=2^{x}$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $2=2^{x}$
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo $2$ se dá napsat jako $2^{1}$:
         $2^{1}=2^{x}$
      2. $1=x$
      3. Výsledek je:
         $x=1$
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. $-3=2^{x}$
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit (alespoň mimo komplexní čísla, jinak je odpověď ${\frac {i{\pi }+ln(3)}{ln(2)}}$).

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

1. $(\sin x)^{2}+2\sin x-3=0$
2. Zavedeme substituci $a=\sin x$, takže dostaneme $a^{2}+2a-3=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}={\frac {-2\pm 4}{2}}$
   
   $a_{1}={\frac {-2+4}{2}}={\frac {2}{2}}=1$
   
   $a_{2}={\frac {-2-4}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $\sin x=1$
   2. $\sin x=-3$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $\sin x=1$
      $x={\frac {1}{2}}\pi +2k\pi$
   2. $\sin x=-3$
      rovnice nemá reálné řešení
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

• Substituční metoda (integrování)

Reference

Portály: Matematika