Diracova rovnice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m robot přidal: bn:ডিরাক সমীকরণ |
m robot: stylistické, typografické a kódové korekce a náhrady přesměrování podle specifikace |
||
Řádek 1:
'''Diracova rovnice''' je [[kvantová]] [[relativistická]] [[rovnice]], popisující chování hmotných [[částice|částic]] se [[spin]]em ½. Popisuje například chování [[elektron]]u - to bylo [[
== Kovariantní zápis rovnice
Diracova rovnice je [[diferenciální rovnice]] prvního řádu pro vlnovou funkci ''
:<math>\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0</math>
Řádek 12:
* <math>\hbar</math> - [[Planckova konstanta]]
V teorietických úvahách se často užívají přirozené soustavy jednotek, kde ''c''=1 a <math>\hbar = 1</math>
* <math>\partial_\mu</math> - parciální [[derivace]] podle [[souřadnice]], ''
* <math>\gamma^\mu</math> - Diracovy ''
Diracovy matice jsou komplexní 4×4 matice, splňující antikomutační relace
Řádek 24:
<math>\gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & \sigma_{i}\\-\sigma_{i}&0\end{pmatrix}</math>
které tvoří takzvanou ''standardní reprezentaci''. Je dokázáno, že jiné volby splňující definující relace se liší jen [[podobnostní transformace|podobnostní transformací]]. ''
== Uhodnutí rovnice a porovnání s Schrödingerovu rovnicí ==
Uvažme [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovu rovnici]]
Řádek 46:
:<math> m^2 + \sum_{j=1}^3 (p_j)^2 = \left( \alpha_0 m^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \, \right)^2 </math>
kde ''
:<math>\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} = 2\delta_{\mu\nu} \cdot </math>
Řádek 57:
Tím získáme vhodný relativistický Hamiltonián
:<math> H = \,\alpha_0 m + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \,
a Diracovu rovnici ve tvaru, který připomíná Schrödingerovou rovnici.
:<math> \left(\alpha_0 m + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, \right) \psi (\mathbf{x},t) = i
K převodu mezi tvary stačí dosadit za operátor [[hybnost]]i v [[souřadnicové reprezentace|souřadnicové reprezentaci]]
Řádek 67:
:<math>\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \nabla \psi(\mathbf{x},t)</math>
vynásobit obě strany ''
:<math> \gamma^0 \equiv \alpha_0 \,,\quad \gamma^j \equiv \alpha_0 \alpha_j </math>
== Zápis ve Feynmanově
Definujeme „přeškrtnutí“ (angl. a běžně i v českém prostředí
:<math>a\!\!\!/ \leftrightarrow \sum_\mu \gamma^\mu a_\mu</math>
| |||