Diferenciální rovnice: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
MerlIwBot (diskuse | příspěvky)
Řádek 40:
 
Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace ''obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu''
 
=== Řešení příkladu ===
<math>dT</math> lze chápat jako [[Diferenciál (matematika)|diferenciál]], tedy funkci dvou proměnných <math>dT(t,dt) = dt.T'(t)\,\!</math>. Zlomek <math>\frac{dT}{dt}\,\!</math> v tomto významu se rovná derivaci <math>T</math> podle <math>t</math> (proto se derivace takto značí). Díky tomu lze uvedenou rovnici upravit:
 
::: <math>dT = -k.(T-T_0).dt \,\!</math>
 
::: <math>\frac{dT}{T-T_0} = -k.dt \,\!</math>
 
Strany rovnice se rovnají, právě když se rovnají jejich [[Neurčitý integrál|neurčité integrály]] (rozdíl obou [[Integrační konstanta|integračních konstant]] označme <math>c\,\!</math>).
 
:::<math>\int\frac{1}{T-T_0}dT = c \,-\,\int k.dt \,\!</math>
 
Vypočtením těchto integrálů obdržíme
 
::: <math>\ln |T-T_0| = c - k.t \,\!</math>
 
Strany se rovnají, právě když se rovnají jejich exponenciály. Pro názornost předpokládejme <math>T>T_0</math>:
 
::: <math>e^{\ln(T-T_0)} = e^{c - k.t} \,\!</math>
 
To lze upravit na
::: <math> T = T_0 \,+\, e^c \,.\, e^{- k.t} \,\!</math>
 
Tato diferenciální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, přičemž různé hodnoty ''c'' odpovídají různým funkcím ''T(t)'', které popisují chladnutí čaje s různou počáteční teplotou.
 
== Související články ==