Mohutnost: Porovnání verzí

* můžeme z posloupnosti vynechat zlomky, které nejsou v základním tvaru, a u každého čísla uvažovat jeho index v takto vybrané posloupnosti. Prvním takto vynechaným číslem bude <math> \frac{-2}{2} \,\!</math> na deváté pozici; proto zlomek <math> \frac{-1}{3} \,\!</math>, který měl v původní posloupnosti index 10, bude ve vybrané posloupnosti mít index 9. Každému racionálnímu číslu pak přiřadíme index odpovídajícího zlomku ve vybrané posloupnosti a tak obržímeobdržíme hledanou bijekci.

Reálné číslo se nazývá [[Transcendentní číslo|transcendentní]], pokud není algebraické. Výše jsme dokázali, že množina algebraických čísel je spočetná, zatímco množina reálných čísel nikoli. Proto nemohou být totožné, čili existují transcendentní čísla. Toto je snazší důkaz existence, než dokazovat například, že Ludolfovo číslo je transendentnítranscendentní; je to ovšem důkaz nekonstruktivní (nedává návod, jak transcendentní číslo nalézt).

Představme si [[ovčák]]a, který má dvě stáda [[ovce|ovcí]] - bílých a černých. Ovčák se rozhodne zjistit, které ze stád je větší, ale má velký problém - neumí počítat. Dlouho nad svým problémem přemýšlí, až ho napadne jednoduché řešení. Bere postupně ovce vždy po jedné z každého stáda a přivazuje je k sobě, vždy černou k bílé. Ví, že až s tím skončí, nezbude mu buď žádná volná bílá ovce, ale několik černých ano, nebo nezbude naopak žádná volná černá, ale několik bílých ano a konečně se může stát, že nezbude žádná bílá ani černá ovce. V prvním případě ovčák ví, že bílých ovcí je méně, ve druhém je černých méně a ve třetím případě jsou všechny ovce svázány po dvojcíchdvojicích k sobě, a tedy jsou obě stáda stejně početná.