Mohutnost: Porovnání verzí

Přidán 1 bajt ,  před 9 lety
m
(→‎Souvislost s kardinálními čísly: přepsáno, dělení na naivní a axiomatickou teorii množin s tím nemá co dělat, i v naivní jsou kardinální čísla)
Právě uvedené pojmy jsou mnohem snazší k pochopení, než pojem [[Kardinální číslo|kardinálního čísla]], a lze je zavádět i bez znalosti kardinálních čísel. Jsou velmi užitečným nástrojem pro práci s "běžnými" množinami (například lze jimi snadno dokázat, že [[Algebraické číslo|algebraických]] čísel je méně než [[Reálné číslo|reálných]] a tedy nutně musí existovat [[Transcendentní číslo|transcendentní čísla]]). Relace "mít menší/větší/stejnou" mohutnost umožňují kvalitativně množiny co do velikosti srovnávat, ale neposkytují způsob, jak jejich velikosti vyjádřit kvantitativně.
 
Pro kvantifikování velikostí nekonečných množin slouží [[Kardinální číslo|kardinální čísla]]. Pojem ''mohutnost'' se pak používá jako synonymum k pojmu ''kardinalita''; oba značí kardinální číslo vyjadřující velikost příslušné množiny. Kardinální čísla lze mezi sebou porovnávat; kardinalita množiny ''A'' je menší než kardinalita množiny ''B'', právě tehdy, když ''A'' má menší mohutnost než ''B''.
 
S ohledem na to, že <math> \approx </math> je ekvivalence a že [[kardinální číslo|kardinální čísla]] jsou určena především k „zastupování ostatních množin ve věci jejich mohutnosti“, nabízí se samozřejmě otázka, zda je každá množina stejně mohutná, jako některé z kardinálních čísel, tj. zda v každé třídě rozkladu relace <math> \approx </math> je alespoň jeden [[kardinální číslo|kardinál]]. Odpověď zní ano – ale pouze za předpokladu, že přijmeme [[axiom výběru]] – bez něj mohou ve světě množin existovat takové množiny, které nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádný kardinál.
3 556

editací