Mohutnost: Porovnání verzí

Odebráno 268 bajtů ,  před 9 lety
→‎Souvislost s kardinálními čísly: přepsáno, dělení na naivní a axiomatickou teorii množin s tím nemá co dělat, i v naivní jsou kardinální čísla
m (Robot: Přidávám et:Võimsus (hulgateooria))
(→‎Souvislost s kardinálními čísly: přepsáno, dělení na naivní a axiomatickou teorii množin s tím nemá co dělat, i v naivní jsou kardinální čísla)
Výše jsme definovali pojem "mít větší mohutnost", ale nikoli pojem "mohutnost":
 
Právě uvedené pojmy jsou mnohem snazší k pochopení, než pojem [[Kardinální číslo|kardinálníkardinálního čísločísla]], a lze je zavádět i v [[Naivní teorie množin|naivní teorii množin]] (bez znalosti kardinálních čísel). Jsou velmi užitečným nástrojem pro práci s "běžnými" množinami (například lze jimi snadno dokázat, že [[Algebraické číslo|algebraických]] čísel je méně než [[Reálné číslo|reálných]] a tedy nutně musí existovat [[Transcendentní číslo|transcendentní čísla]]). Relace "mít menší/větší/stejnou" mohutnost umožňují kvalitativně množiny co do velikosti srovnávat, ale neposkytují způsob, jak jejich velikosti vyjádřit kvantitativně.
 
VPro [[Axiomatickákvantifikování teorievelikostí množin|axiomatické teoriinekonečných množin]] je ovšem třeba pracovat s "velmi velkými" množinami a k měření jejich velikosti se zavádíslouží [[Kardinální číslo|kardinální čísla]]. Tam se ''' pojemPojem ''mohutnost'' se pak používá jako synonymum k pojmu ''kardinalita''''',; tedyoba značí kardinální číslo vyjadřující velikost příslušné množiny. Kardinální čísla lze mezi sebou porovnávat; kardinalita množiny ''A'' je menší než kardinalita množiny ''B'', právě tehdy, když''A'' má menší mohutnost než ''B''.
 
Obě uvedené definice pojmu "mohutnost" jsou ekvivalentní: například množina ''A'' má menší mohutnost (ve smyslu výše uvedené definice) než ''B'' právě tehdy, když kardinalita množiny ''A'' je menším kardinálním číslem, než kardinalita ''B''. (To platí za předpokladu [[Axiom výběru|axiomu výběru]], neboť bez něho existují množiny, které nelze [[Bijekce|bijektivně]] zobrazit na žádné kardinální číslo.)
 
S ohledem na to, že <math> \approx </math> je ekvivalence a že [[kardinální číslo|kardinální čísla]] jsou určena především k „zastupování ostatních množin ve věci jejich mohutnosti“, nabízí se samozřejmě otázka, zda je každá množina stejně mohutná, jako některé z kardinálních čísel, tj. zda v každé třídě rozkladu relace <math> \approx </math> je alespoň jeden [[kardinální číslo|kardinál]]. Odpověď zní ano – ale pouze za předpokladu, že přijmeme [[axiom výběru]] – bez něj mohou ve světě množin existovat takové množiny, které nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádný kardinál.
3 556

editací