Newtonova interpolace: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Doplněn nový Příklad konstrukce Newtonova interpolačního polynomu |
Nový příklad nahradil starý, přepsán postup získání poměrných diferencí |
||
Řádek 3:
bodech <math> x_i , i = 0,1,...,n </math> (body <math>x_i</math> nazýváme uzly [[interpolace]]), a požadujeme-li, aby aproximace procházela zadanými body, použijeme [[aproximace|aproximaci]] interpolačním [[polynom]]em. Aproximace nám potom poslouží k získání přibližné hodnoty zadané funkce v libovolném bodě intervalu <math><x_0,x_n></math>.
'''Newtonův interpolační polynom má následující tvar:'''
<math>N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+...+a_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})</math>
Koeficienty <math>a_0 \cdots a_n</math> lze vypočítat pomocí '''poměrných diferencí'''.
== Sestavení tabulky poměrných diferencí<ref>{{Citace monografie
| autor = RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
| autor2 = Mgr. Irena Růžičková
| titul = Matematika 3
| kapitola = 6.1.3
| strany = 64
| url = http://www.umat.feec.vutbr.cz/~fuchsp/Matematika3.pdf
</ref> ==
V každém sloupci tabulky se budou nacházet poměrné diference daného řádu. Diferencemi 0. řádu budou přímo funkční hodnoty v bodech <math>x_i</math>.
'''Poměrné diference 1. řádu vyjádříme:'''
|-▼
▲|}
<math>f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}</math>
'''Poměrné diference 2. řádu vyjádříme:'''
Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti [[Lagrangeova interpolace|Lagrangeově interpolaci]] výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty <math>a_k</math> se nezmění).▼
<math>f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}</math>
Ostatní diference vyjádříme analogicky.
== Příklad konstrukce Newtonova interpolačního polynomu<ref>{{cite web
Řádek 39 ⟶ 38:
Hledáme polynom procházející body: <math>[-2,-39], [0,3], [1,6], [3,36]</math>
{|class="wikitable"
! <math>x_i</math> !! <math>f(x_i)</math> !! Diference 1. řádu !! Diference 2. řádu !! Diference 3. řádu
▲|-
| <math>x_0=-2</math> || <math>f(x_0)=-39=a_0</math> || || ||
|-
Řádek 52 ⟶ 54:
<math>P_3(x) = -39 +21(x+2) -6(x+2)x +2(x+2)x(x-1) </math>
== Vlastnosti interpolační metody ==
▲Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti [[Lagrangeova interpolace|Lagrangeově interpolaci]] výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty <math>a_k</math> se nezmění).
== Související články ==
|