Newtonova interpolace: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
Doplněn nový Příklad konstrukce Newtonova interpolačního polynomu
Nový příklad nahradil starý, přepsán postup získání poměrných diferencí
Řádek 3:
bodech <math> x_i , i = 0,1,...,n </math> (body <math>x_i</math> nazýváme uzly [[interpolace]]), a požadujeme-li, aby aproximace procházela zadanými body, použijeme [[aproximace|aproximaci]] interpolačním [[polynom]]em. Aproximace nám potom poslouží k získání přibližné hodnoty zadané funkce v libovolném bodě intervalu <math><x_0,x_n></math>.
 
'''Newtonův interpolační polynom má následující tvar:'''
 
<math>N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+...+a_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})</math>
 
Koeficienty <math>a_0 \cdots a_n</math> lze vypočítat pomocí '''poměrných diferencí'''.
Nyní existuje relativně jednoduchý způsob, jak spočítat koeficienty <math>a_0</math> až <math>a_n</math>. Použijeme k tomu tabulku speciální proměné jménem Poměrné diference. V této tabulce budou poměrnné diference 0-tého až n-tého řádu. Tedy v každém sloupci tabulky budou poměrnné diference určitého řádu (v tabulce označeno k). Poměrnné diference 0-tého řádu jsou přímo funkční hodnoty v bodech <math>x_i</math>.
 
== Sestavení tabulky poměrných diferencí<ref>{{Citace monografie
Označme si <math>D_j</math> jako j-tou poměrnnou diferenci k-tého řádu a <math>C_j</math> jako j-tou poměrnou diferenci (k-1)-tého řádu. Potom platí:
| autor = RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
| autor2 = Mgr. Irena Růžičková
| titul = Matematika 3
| kapitola = 6.1.3
| strany = 64
| url = http://www.umat.feec.vutbr.cz/~fuchsp/Matematika3.pdf
|}}
</ref> ==
 
V každém sloupci tabulky se budou nacházet poměrné diference daného řádu. Diferencemi 0. řádu budou přímo funkční hodnoty v bodech <math>x_i</math>.
<math>D_j = (C_j-C</math><sub>j-1</sub><math>)/(x_j-x</math><sub>j-k</sub><math>)</math>
 
'''Poměrné diference 1. řádu vyjádříme:'''
Pro přehlednost ukážu tabulku jako příklad:
{|class="wikitable"
|-
! i !! xi !! f(xi) ; k = 0 !! k = 1 !! k = 2 !! k = 3
|-
|0 || 0 || 1 || || ||
|-
|1 || 1 || 2 || 1 || ||
|-
|2 || -1 || 2 || 0 || 1 ||
|-
|3 || 3 || 0 || -1/2 || -1/4 || -5/12
|}
 
<math>f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}</math>
<math>a_k</math> získáme nyní velmi jednoduše jako první spočítané číslo v k-tém sloupci, tedy pro náš příklad:
<math>a_0 = 1 , a_1 = 1 , a_2 = 1 , a_3 = -5/12</math>
 
'''Poměrné diference 2. řádu vyjádříme:'''
Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti [[Lagrangeova interpolace|Lagrangeově interpolaci]] výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty <math>a_k</math> se nezmění).
 
<math>f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}</math>
 
Ostatní diference vyjádříme analogicky.
 
== Příklad konstrukce Newtonova interpolačního polynomu<ref>{{cite web
Řádek 39 ⟶ 38:
 
Hledáme polynom procházející body: <math>[-2,-39], [0,3], [1,6], [3,36]</math>
 
{|class="wikitable"
! <math>x_i</math> !! <math>f(x_i)</math> !! Diference 1. řádu !! Diference 2. řádu !! Diference 3. řádu
|-
| <math>x_0=-2</math> || <math>f(x_0)=-39=a_0</math> || || ||
|-
Řádek 52 ⟶ 54:
 
<math>P_3(x) = -39 +21(x+2) -6(x+2)x +2(x+2)x(x-1) </math>
 
== Vlastnosti interpolační metody ==
 
Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti [[Lagrangeova interpolace|Lagrangeově interpolaci]] výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty <math>a_k</math> se nezmění).
 
== Související články ==