Potenční množina: Porovnání verzí

Přidáno 1 428 bajtů ,  před 14 lety
mat. vzorce a odkaz a rozšíření vlastností a podívejte se také na
(mat. vzorce a odkaz a rozšíření vlastností a podívejte se také na)
'''Potenční množina''' množiny ''<math>X'' \,\! </math> (značí se '''''<math> \mathbb{P}(X)''''' \,\! </math> nebo též '''2<supmath>''2^X'' \,\! </supmath>''') je taková [[množina]], která obsahuje ''všechny'' [[podmnožina|podmnožiny]] množiny ''<math>X''. Formálně vyplývá existence\,\! potenční množiny k libovolné množině z [[axiom potenční množiny|axiomu potenční množiny]]</math>.
 
Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|axiomu potenční množiny]].
 
== Příklad ==
* <math> A = \{ 1,2,3 \} \,\! </math>
Pokud ''A''&nbsp;= {&nbsp;1, 2, 3&nbsp;}, pak ''P(A)''&nbsp;= {&nbsp;[[Prázdná množina|&empty;]], {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}&nbsp;}.
* <math> \mathbb{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \}, \{ 2,3 \}, \{ 1,2,3 \} \} \,\! </math>
 
== Vlastnosti ==
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek [[prázdná množina|prázdnou množinu]], tj.<br>
* Pokud |''X''|&nbsp;= ''n'', pak |''P(X)''|&nbsp;= 2<sup>''n''</sup>. Obecně i pro [[nekonečná množina|nekonečné množiny]] platí, že [[mohutnost]] potenční množiny je vždy striktně vyšší než mohutnost původní množiny (viz [[Cantorova diagonální metoda]]).
<math> (\forall X)( \emptyset \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math>
* &empty;&nbsp;&isin; ''P(X)'' pro libovolnou množinu ''X'' (neboť &empty;&nbsp;&sube; ''X'' pro libovolnou množinu ''X'').
 
Potenční množina množiny <math> X \,\! </math> obsahuje <math> X \,\! </math> jako svůj prvek, tj.<br>
<math> (\forall X)(X \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math>
 
Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno [[uspořádání]] pomocí relace "být [[podmnožina|podmnožinou]]" <math> \subseteq \,\! </math>. Toto uspořádání rozhodně není [[lineární uspořádání|lineární]] - například množiny <math> \{ 1,3 \} \,\! </math> a <math> \{ 2,3 \} \,\! </math> z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou [[potenční algebra]], která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o [[úplný svaz]].
 
== Mohutnost potenční množiny ==
* Pokud je <math> X \,\! </math> konečná množina a její [[mohutnost]] je <math> |X| = n \,\! </math>, pak mohutnost její potenční množiny je <math> |\mathbb{P}(X)| = 2^n \,\! </math>.
* Pro nekonečné množiny platí podle [[Cantorova věta|Cantorovy věty]], že mohutnost <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> X \,\! </math>. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost <math> \mathbb{P}(\mathbb{P}(X)) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> atd.
 
== Podívejte se také na ==
{{matematický pahýl}}
{{Portál matematika}}
* [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|Axiom potenční množiny]]
* [[Potenční algebra]]
* [[Filtr (matematika)|Filtr]]
* [[Svaz (matematika)|Svaz]]
 
[[Kategorie:Teorie množin]]
5 102

editací