Verze z 22. 10. 2006, 17:11 editovat Tsca.bot (diskuse \| příspěvky) 8 363 editací m robot přidal: ca:Conjunt de les parts, fr:Ensemble des parties d'un ensemble ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 8. 11. 2006, 15:08 editovat zrušit editaci Chrupoš (diskuse \| příspěvky) 5 102 editací mat. vzorce a odkaz a rozšíření vlastností a podívejte se také na Přejít na další porovnání →
Řádek 1: '''Potenční množina''' množiny ''<math>X'' \,\! </math> (značí se ~~'''''~~<math> \mathbb{P}(X)~~'''''~~ \,\! </math> nebo též ~~'''2~~<~~sup~~math>''2^X'' \,\! </~~sup~~math>~~'''~~) je taková [[množina]], která obsahuje ''všechny'' [[podmnožina\|podmnožiny]] množiny ''<math>X~~''.~~ \,\! </math>. Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z [[~~axiom~~Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny\|axiomu potenční množiny]]. == Příklad == * <math> A = \{ 1,2,3 \} \,\! </math> ~~Pokud ''A'' = { 1, 2, 3 }, pak ''P(A)'' = { [[Prázdná množina\|∅]], {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.~~ * <math> \mathbb{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \}, \{ 2,3 \}, \{ 1,2,3 \} \} \,\! </math> == Vlastnosti == Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek [[prázdná množina\|prázdnou množinu]], tj.<br> * Pokud \|''X''\| = ''n'', pak \|''P(X)''\| = 2<sup>''n''</sup>. Obecně i pro [[nekonečná množina\|nekonečné množiny]] platí, že [[mohutnost]] potenční množiny je vždy striktně vyšší než mohutnost původní množiny (viz [[Cantorova diagonální metoda]]). <math> (\forall X)( \emptyset \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math> * ∅ ∈ ''P(X)'' pro libovolnou množinu ''X'' (neboť ∅ &sube; ''X'' pro libovolnou množinu ''X''). Potenční množina množiny <math> X \,\! </math> obsahuje <math> X \,\! </math> jako svůj prvek, tj.<br> <math> (\forall X)(X \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math> Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno [[uspořádání]] pomocí relace "být [[podmnožina\|podmnožinou]]" <math> \subseteq \,\! </math>. Toto uspořádání rozhodně není [[lineární uspořádání\|lineární]] - například množiny <math> \{ 1,3 \} \,\! </math> a <math> \{ 2,3 \} \,\! </math> z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou [[potenční algebra]], která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o [[úplný svaz]]. == Mohutnost potenční množiny == * Pokud je <math> X \,\! </math> konečná množina a její [[mohutnost]] je <math> \|X\| = n \,\! </math>, pak mohutnost její potenční množiny je <math> \|\mathbb{P}(X)\| = 2^n \,\! </math>. * Pro nekonečné množiny platí podle [[Cantorova věta\|Cantorovy věty]], že mohutnost <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> X \,\! </math>. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost <math> \mathbb{P}(\mathbb{P}(X)) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> atd. == Podívejte se také na == ~~{{matematický pahýl}}~~ {{Portál matematika}} * [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny\|Axiom potenční množiny]] * [[Potenční algebra]] * [[Filtr (matematika)\|Filtr]] * [[Svaz (matematika)\|Svaz]] [[Kategorie:Teorie množin]]

Potenční množina: Porovnání verzí