Unitární operátor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 1:
'''Unitární operátor''' je v matematice označení pro operátor [[lineární operátor]] <math>U: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}</math> splňující vztah: <math>U^* = U^{-1}</math>, tzn. [[adjungovaný operátor]] je shodný s inverzním zobrazením. (Kde <math>\mathcal{H}</math> a <math>\mathcal{K}</math> jsou [[Hilbertův prostor|Hilbertovy prostory]].)
== Vlastnosti ==
=== Alternativní definice ===
Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 1. a 2. se někdy používají jako alternativní definice.
# <math>U</math> je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy <math>U^* = U^{-1}</math>
# <math>U</math> je [[Zobrazení na|surjektivní]] a je [[izometrie|izometrií]], tzn.: <math>\|U x \| = \| x \| \ \forall x \in \mathcal{H}</math>
# <math>U</math> je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.: <math>\lang x,y \rang = \lang U x, U y \rang \ \forall x, y \in \mathcal{H}</math>
Důkaz:
:<math>(1.) \Rightarrow (3.) \Rightarrow (2.)</math>
::<math>U^* = U^{-1} \Rightarrow \lang x,x \rang = \lang U^{-1}U x, x \rang = \lang U^*U x, x \rang = \lang U x,U x \rang \Rightarrow \| x \| = \| U x \|</math>
::Protože platí <math>U^{**} = (U^{-1})^* = (U^*)^{-1}</math>, je <math>U^*</math> též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy [[Bijekce|bijektivní]] a tedy i surjektivní.
:<math>(2.) \Rightarrow (1.)</math>
::Onzačme <math>I</math> [[identické zobrazení]] a připomeňme, že: <math>\| x \| = \lang x,x \rang</math>.
::<math>\lang I x, x \rang = \lang x, x \rang = \lang T x, T x \rang = \lang T^*T x, x \rang \ \forall x \in \mathcal{H} \Rightarrow I = T^*T</math>
::Z čehož máme: <math> TT^* = TT^*TT^{-1} = TIT^{-1} = TT^{-1} = I \Rightarrow T^* = T^{-1}</math>. ∎
=== Další vlastnosti ===
Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění [[Komplexní jednotka|komplexní jednotky]] pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:
* Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
* Vlastní čísla unitárního zobrazení jsou komplexní jednotky.
* Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat [[Matice|maticí]] <math>n \times n</math>, jejíž sloupcové vektory tvoří [[Ortonormální báze|ortonormální bázi]] <math>\mathbb{C}^n</math>. Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.
| |||