Ortogonalita: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m oprava překlepu, doplnění odkazů |
ortogonální funkce |
||
Řádek 5:
==Zobecněné významy==
S rozvojem [[lineární algebra|linearní algebry]] došlo k zobecnění pojmu ortogonality na obecné [[vektorový prostor|vektorové prostory]] se [[skalární součin|skalárním součinem]] (tzv. [[unitární prostor|unitární prostory]]). [[vektor|Vektory]] jsou nazývány ortogonálními, je-li jejich skalární součin [[nula|nulový]]. Význačnou úlohu hrají ortogonální [[báze_(algebra)|báze]], zvláště u nekonečnědimenzionálních prostorů, kde je pojem [[úplnost|úplnosti]] báze netriviální a ortogonalita usnadňuje jeho definici. Důležitým příkladem jsou systémy [[#ortogonální
Pokud mají navíc vektory jednotkovou [[norma vektoru|normu]] (velikost), pak jde o [[Ortonormalita|ortonormalitu]] (ortonomální vektor, ortonomální báze).
V [[kvantová teorie|kvantové teorii]], kde jsou stavům systému přiřazeny vektory z [[hilbertův prostor|Hilbertova prostoru]], odpovídají ortogonální vektory takovým stavům, kde pravděpodobnost nalezení jednoho ve druhém je nulová. Obvykle pak stavy odpovídající klasickým stavům (tj. stavy jednoznačně určené hodnotami měřitelných veličin) tvoří ortogonální bázi Hilbertova prostoru.
===Ortogonální funkce===
Systém [[funkce (matematika)|funkcí]] <math>f_n</math> je v [[interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle a,b\rangle</math> ''ortogonální s váhou <math>w(x)</math>'', kde <math>w(x)\geq 0</math>, pokud pro každou dvojici <math>f_i(x), f_k(x)</math> platí
:<math>\int_a^b w(x)f_i(x)f_k(x) \mathrm{d}x = 0 \; \mbox{ pro } i \neq k</math>.
Funkci f nazýváme ''normovanou s váhou'' <math>w(x)</math>, jestliže platí
:<math>\int_a^b w(x)f^2(x)\mathrm{d}x = 1</math>
Systém funkcí <math>f_n</math> ortogonální s váhou <math>w(x)</math>, kde každá funkce <math>f_n</math> je normovaná s váhou <math>w(x)</math>, nazýváme ''ortonormální (ortonormovaný) s váhou <math>w(x)</math>''.
====Systém ortogonálních funkcí v <math>L_2</math>====
Systémy ortogonálních funkcí v prostoru <math>L_2</math> našel praktické uplatnění především v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]].
Funkce <math>f,g \in L_2(a,b)</math> označujeme jako ortogonální v [[l2 prostor|prostoru]] <math>L_2(a,b)</math> (na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>), pokud platí
:<math>(f,g)=0</math>,
přičemž [[skalární součin]] v předchozím vztahu vyjadřujeme jako
:<math>\int_a^b f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x=0</math>
Funkci f nazýváme ''normovanou'' v prostoru <math>L_2(a,b)</math>, je-li její [[norma vektoru|norma]] rovna [[jedna|jedné]], tzn.
:<math>\|f\|=1</math>
Máme-li konečný nebo spočetný systém funkcí <math>f_n \in L_2(a,b)</math>, pak říkáme, že tento systém je ''ortogonální'' v <math>L_2(a,b)</math>, pokud pro každou dvojici funkcí <math>f_i, f_k</math> platí
:<math>(f_i,f_k)=0 \; \mbox{ pro } i \neq k</math>.
Je-li navíc každá funkce <math>f_n</math> normovaná, pak říkáme, že systém funkcí je ''ortonormovaný (ortonormální)''. V takovém případě platí
:<math>(f_i,f_k) = \delta_{ik}</math>,
kde <math>\delta_{ik}</math> je [[Kroneckerův symbol]].
Máme-li ortogonální systém funkcí a pro všechny funkce <math>f_n</math> platí, <math>\|f_n\|\neq 0</math>, pak lze vytvořit ortonormální systém zavedením <math>g_n(x) = \frac{f_n(x)}{\|f_n\|}</math>.
==Podívejte se také na==
| |||