Kužel: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Editace uživatele 82.114.195.34 (diskuse) vráceny do předchozího stavu, jehož autorem je JackieBot |
|||
Řádek 8:
Je-li podstavou kužele [[Kruh (geometrie)|kruh]], pak jej označíme jako '''kruhový'''. Pokud [[kolmice]] spuštěná z vrcholu na [[rovina|rovinu]] podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak kužel označujeme jako '''rotační kužel''' nebo '''kolmý kruhový kužel'''. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak jej označujeme jako '''kosý'''.
== Kuželová plocha a prostor ==
[[Soubor:kuzelovy_prostor.svg|thumb|Kuželový prostor.]]
Mějme jednoduchou uzavřenou [[křivka|křivku]] <math>k</math>, která leží v [[rovina|rovině]]. [[Bod]]y, které leží [[přímka|přímkách]] procházejících libovolným bodem křivky <math>k</math> a bodem <math>V</math> ležícím mimo rovinu křivky <math>k</math> tvoří '''kuželovou plochu'''. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá '''kuželový prostor'''.
Kuželová plocha je [[množina]] bodů v [[prostor (geometrie)|prostoru]], která vznikne z kužele tím, že odstraníme podstavu a každou [[úsečka|úsečku]] pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužíme na [[přímka|přímku]]. Nejlepší představa je taková, že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.
=== Rovnice ===
'''Kuželová plocha''' ('''[[kvadratická plocha|kvadratický]] kužel''') s vrcholem v počátku, která v [[rovina|rovině]] <math>z=c</math> prochází [[elipsa|elipsou]] <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> (tzv. ''[[řídící křivka]]''), má [[rovnice|rovnici]]
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0</math>
[[přímka|Přímky]], které tvoří povrch kužele se nazývají ''[[tvořící přímka|tvořící přímky]]''.
Tato plocha je ''[[asymptotická plocha|asymptotickou plochou]]'' (''asymptotickým kuželem'') [[hyperboloid|hyperboloidů]]
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1</math>
Pro <math>a=b</math> jde o rotační kužel s osou rotace <math>z</math>.
Kuželovou plochu s vrcholem v bodě <math>[x_0,y_0,z_0]</math> je vždy možné vyjádřit rovnicí
:<math>F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0</math>
== Vlastnosti ==
Řádek 19 ⟶ 38:
'''Rotační kužel''' je [[rotace (geometrie)|rotační]] [[těleso (geometrie)|těleso]] vzniklé otáčením [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlého trojúhelníku]] v [[prostor (geometrie)|prostoru]] okolo jedné z [[odvěsna|odvěsen]]. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová '''podstava kužele''' (někdy také nazývaná jako '''základna kužele'''), otáčením [[přepona|přepony]] pak '''kuželová plocha''' nebo jinak '''plášť kužele'''. Tento plášť je v podstatě „stočená“ [[kruhová výseč]], jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a [[poloměr]]u podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme '''vrchol kužele'''.
=== Vlastnosti ===
Označíme-li <math>r</math> [[poloměr]] kruhové podstavy kužele a <math>h</math> výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:
* poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] jako
:<math> s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\! </math>
* [[objem]] kužele jako
:<math> V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\! </math>
* [[povrch]] kužele jako [[součet]] [[obsah]]u podstavy <math> S_p = \pi r^2 \,\! </math> a obsahu pláště <math> S_{pl} = \pi r s \,\! </math>
:<math> S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! </math>
* [[symetrie|Symetrické]] vlastnosti
** Kužel není [[Středová souměrnost|středově souměrný]].
** Kužel je [[Osová souměrnost|osově souměrný]] podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
** Kužel je [[Rovinová souměrnost|rovinově souměrný]] podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).
* V jistém smyslu je kužel „[[limita posloupnosti|limitním případem]]“ [[posloupnost]]i pravidelných n-bokých [[jehlan]]ů pro ''n'' jdoucí do [[nekonečno|nekonečna]]. To je ostatně vidět i ze vzorce pro objem, který je hodně podobný vzorci pro objem jehlanu.
=== Kuželosečky ===
| |||