Shodné zobrazení: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace
Bez shrnutí editace
Řádek 3:
Shodné zobrazení euklidovského prostoru do sebe se nazývá '''shodnost'''.
 
PojmuV '''shodnéhoelementární zobrazení'''školské geometrii se obvyklestudují používáspeciálně veshodná školskézobrazení geometriiv pro[[rovina|rovině]] zobrazenía vev prostoru, tzn. v[[2D|dvojrozměrném]] a [[3D|trojrozměrném]] [[Euklidovský prostor|eukleidovském prostoru]] - tj. v [[rovina|rovině]] a v prostoru.
 
Obecněji se pro [[metrický prostor|metrické prostory]] zavádí pojem [[izometrické zobrazení]] a (izometrie).
 
== Základní vlastnosti ==
Řádek 14:
* Všechny shodnosti euklidovského prostoru tvoří s operací skládání zobrazení [[grupa|grupu]], tzv. euklidovskou grupu.
 
== Shodná zobrazeníShodnosti v rovině ==
=== TypyDruhy zobrazeníshodností ===
V [[rovina|rovině]] existují jenom následující druhy shodností:
V [[rovina|rovině]] existuje několik shodných zobrazení, která jsou (z pohledu geometrických konstrukcí) považována za základní:
 
* [[posunutí (geometrie)|posunutí]] - všechny body roviny jsou posunuty stejným směrem o stejnou vzdálenost - směr a vzdálenost jsou dány orientovanou [[úsečka|úsečkou]], nazývanou „vektor posunutí“
* [[rotaceposunutí (geometrie)|otočeníposunutí]] (translace) - všechny body roviny jsou otočenyposunuty kolemstejným pevněsměrem danéhoo bodustejnou (středuvzdálenost otočení)- osměr stejnýa úhelvzdálenost (úheljsou otočení)dány orientovanou [[úsečka|úsečkou]] nebo [[vektor]]em posunutí.
* [[rotace (geometrie)|otočení]] (rotace) - všechny body roviny jsou otočeny kolem pevně daného bodu (středu otočení) stejným směrem o stejný úhel (úhel otočení)
* [[středová souměrnost]] - všechny body jsou zobrazeny „na druhou stranu“ podle pevného středu, jejich obraz má stejnou vzdálenost od středu, jako původní bod. Středová souměrnost není v rovině nic jiného, než zvláštní případ otočení - konkrétně se jedná o otočení kolem středu souměrnosti o 180 stupňů
* [[středová souměrnost]] (středová symetrie) - středová souměrnost v rovině je zvláštní případ otočení - otočení kolem středu souměrnosti o 180 stupňů
* [[osová souměrnost]] - všechny body jsou zobrazeny „na druhou stranu“ podle pevné [[přímka|přímky]], jejich obraz má stejnou vzdálenost od přímky, jako původní bod.
* [[identita (geometrie)|identitatotožnost]] (identita) - zobrazení, které každý bod zobrazuje na sebe sama. Lze jí podle potřebyji považovat ze posunutí o úsečku nulové délky nebo za otočení o nulový úhel.
* [[osová souměrnost]] (zrcadlení, osová symetrie)
*[[posunutá souměrnost|posunutá (osová) souměrnost]] - složení osové souměrnosti a posunutí ve směru osy.
 
[[Soubor:geom_shodnost_translace.svg|thumb|left|Geometrické posunutí.]]
Řádek 30 ⟶ 32:
<br style="clear: both;" />
 
=== Skládání zobrazeníshodností ===
* Složením (dvou) posunutí je opět posunutí.
Mezi jednotlivými základními typy shodných zobrazení existují některé zajímavé vztahy:
* Složením dvou středových souměrností je posunutí.
 
* Složením dvou posunutíotočení získámse stejným středem je opět posunutíotočení se stejným středem.
* Složením dvou otočeníosových souměrností se stejnýmstejnou středem získám opět otočení seosou stejnýmje středemidentita.
* Složením dvou osových souměrností s různými rovnoběžnými osami získámje posunutí. (A naopak - každéKaždé posunutí mohulze vyjádřit jako složení dvou osových souměrností.)
* Složením dvou osových souměrností ses shodnourůznoběžnými osouosami získámje identituotočení kolem průsečíku os. Každé otočení lze vyjádřit jako složení dvou osových souměrností.
* Složením dvou osových souměrností s různoběžnými osami získám otočení kolem průsečíku os. (A naopak - každé otočení mohu vyjádřit jako složení dvou osových souměrností.)
* Inverzní zobrazení ke shodnému zobrazení je stejného typu, jako původní zobrazení (například inverzním zobrazením k [[posunutí (geometrie)|posunutí]] je opět posunutí).
 
'''KaždéKaždou shodné zobrazeníshodnost v rovině lze složit (různými způsoby) z konečnéhonejvýše počtu'''tří''' osových souměrností.'''
=== Často kladené otázky ===
Nabízí se otázka, zda v rovině existují ještě nějaká jiná zobrazení, než ta, která jsou uvedena v předchozím odstavci. Odpověď zní ano - stačí složit posunutí o úsečku nenulové délky s otočením kolem libovolného bodu o devadesát stupňů a získáváme shodné zobrazení, které nesplňuje definici ani jednoho z uvedených typů.
 
Druhá otázka zní, zda v rovině existují nějaká shodná zobrazení, která nelze „poskládat“ ze základních typů (tj. která nemohou být vyjádřena konečným počtem složení základních typů shodných zobrazení). Tentokrát zní odpověď ne - každé shodné zobrazení v rovině lze vyjádřit jako složení základních shodných zobrazení.
 
Toto tvrzení lze ještě zesílit - s ohledem na to, že posunutí, otočení a identitu lze složit z osových souměrností a středová souměrnost je speciálním případem otočení, lze říct, že:<br />
'''Každé shodné zobrazení v rovině lze složit z konečného počtu osových souměrností.'''
 
Z dalšího oddílu vyplyne, že postavení osové souměrnosti je v tomto smyslu privilegované - není pravda, že by pomocí posunutí nebo pomocí otočení nebo pomocí posunutí a otočení bylo možné složit každé shodné zobrazení.
 
=== Orientace shodného zobrazení ===
Při pokusech se zobrazením [[trojúhelník]]u v různých shodných zobrazeních si nelze nevšimnout jedné zajímavé věci - někdy se jsou vrcholy obrazu trojúhelníku „pojmenovány“ ve stejném směru (například A,B,C po směru hodinových ručiček se zobrazí na A',B',C' opět po směru hodinových ručiček), někdy naopak (vzor je A,B,C po směru, ale obraz je A',B',C' proti směru). Mluvíme o '''zachování orientace''' a o shodném zobrazení '''zachovávajícím orientaci''' nebo naopak o '''převrácení orientace''' a o shodném zobrazení '''převracejícím orientaci'''.
 
=== Přímá a nepřímá zobrazeníshodnost ===
* Složením dvou shodných zobrazení zachovávájících orientaci vznikne opět shodné zobrazení zachovávající orientaci.
Při pokusech se zobrazením [[trojúhelník]]u v různých shodných zobrazeníchshodnostech si nelze nevšimnout jedné zajímavé věci - někdy se jsou vrcholy obrazu trojúhelníku „pojmenovány“ ve stejném směru (například A,B,C po směru hodinových ručiček se zobrazí na A',B',C' opět po směru hodinových ručiček), někdy naopak (vzor je A,B,C po směru, ale obraz je A',B',C' proti směru). Mluvíme o '''zachování orientace''' a o shodném zobrazení '''zachovávajícím orientaci''' nebo naopak o '''převrácenízměně orientace''' a o shodném zobrazení '''převracejícímměnícím orientaci'''.
* Složením dvou shodných zobrazení převracejících orientaci vznikne shodné zobrazení zachovávající orientaci.
* Posunutí a otočení (a tedy i středová souměrnost) zachovávají orientaci.
* Osová souměrnost převrací orientaci.
 
Shodnost zachovávající orientaci se nazývá '''přímá''' neboli ''přemístění''. Shodnost měnící orientaci se nazývá '''nepřímá'''.
Obecněji platí, že:
* '''Shodné zobrazení vzniklé složením [[Sudé číslo|sudého počtu]] osových souměrností zachovává orientaci.'''
* '''Shodné zobrazení vzniklé složením [[Liché číslo|lichého počtu]] osových souměrností převrací orientaci.'''
 
* Posunutí a otočení (a tedy i středová souměrnost) jsou přímé shodnosti (přemístění), zachovávají orientaci.
Zde je mimo jiné odpověď na otázku, zda lze pomocí otočení a posunutí naskládat každé shodné zobrazení - odpověď zní ne, neboť pomocí nich nikdy nesložím shodné zobrazení převracející orientaci (například platí, že osovou souměrnost nelze složit pomocí posunutí a otočení).
* (Posunuté) osové souměrnosti jsou nepřímé shodnosti, mění orientaci.
 
Každé přemístění v rovině lze složit (různými způsoby) ze '''dvou''' osových souměrností.
=== Přímá a nepřímá zobrazení ===
Shodná zobrazení, která zachovávají orientaci se nazývají '''přímá'''. Obraz lze přemístit tak, aby se kryl se svým vzorem.
 
* Složením (dvou) přímých shodností je přímá shodnost.
Shodná zobrazení, která převracejí orientaci, se nazývají '''nepřímá'''. Pokud bychom chtěli přemístit obraz tak, aby se kryl se vzorem, museli bychom jej „obrátit na ruby“.
* Složením přímé a nepřímé shodnosti je nepřímá shodnost.
* Složením dvou nepřímých shodností je přímá shodnost.
* Složením [[Sudé číslo|sudého počtu]] nepřímých shodností je přímá shodnost.
* Složením [[liché číslo|lichého počtu]] nepřímých shodností je nepřímá shodnost.
 
== Související články ==