Supremum: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m robot změnil: sk:Suprémum |
Obecná definice, doplnění dalších příkladů a odkazů |
||
Řádek 1:
'''Supremum''' je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru teorie uspořádání, který je často používán především při zkoumání vlastností [[Reálné číslo|reálných čísel]]. Supremum je zaváděno jako alternativa k pojmu [[největší prvek]], oproti největšímu prvku je však dohledatelné u více množin - například omezené otevřené intervaly reálných čísel nemají největší prvek, ale mají supremum.
[[Dualita pojmů|Duálním pojmem]] (opakem) suprema je [[infimum]].
== Obecná definice ==
Předpokládejme, že množina <math> X \,\! </math> je [[uspořádání|uspořádána]] [[Binární relace|relací]] <math> R \,\! </math>. O prvku <math> a \isin X \,\! </math> řekneme, že je '''supremum''' [[podmnožina|podmnožiny]] <math> Y \subseteq X \,\! </math>, pokud je to [[nejmenší prvek]] množiny všech [[horní závora|horních závor]] množiny <math> Y \,\! </math>. Tuto skutečnost značíme<br />
<math> a = sup_R(Y) \,\! </math>
== Supremum v množině reálných čísel ==
Supremum má každá
Shora neomezené množiny supremum nemají. Například otevřený interval <math>I = (a,+\infty) \,\!</math> nemá supremum v množině <math> \mathbb{R} \,\! </math> všech reálných čísel.
Pokud má množina [[maximum]] <math>M \,\!</math> má i supremum <math>K \,\!</math>, pro které platí, že <math>K = M \,\!</math>.
▲Supremum má každá neprázdná shora omezená množina, přestože ne každá má [[maximum]]. Například [[otevřený interval]] <math>I = (a,b)</math> maximum nemá (pro každé <math>c \in I</math> můžeme nalézt <math>d: c < d < b</math>), ovšem jeho supremem je právě <math>b</math> (jde o horní závoru a jakékoliv menší číslo již horní závorou není - lze argumentovat podobně jako u maxima).
== Obecné vlastnosti a další příklady ==
=== Vztah suprema a největšího prvku ===
Nejen na množině reálných čísel, ale obecně na všech množinách, je supremum zobecněním pojmu největšího prvku. Pokud má množina největší prvek, je tento největší prvek zároveň jejím supremem. Naopak to však platit nemusí - prvním takovým příkladem je výše uvedený shora omezený otevřený interval na množině reálných čísel.
Pokud supremum existuje, pak je určeno jednoznačně - množina nemůže mít dvě různá suprema. To je dáno tím, že nejmenší prvek (tedy i nejmenší prvek množiny horních závor - supremum) je v případě, že existuje, jednoznačně určen.
=== Supremum podle dělitelnosti ===
Uvažujme o množině <math> \mathbb{Z}^+ \,\! </math> všech kladných celých čísel a relaci <math> R \,\! </math> danou vztahem <math> a \leq_R b \Leftrightarrow a | b \,\! </math> (tj. číslo <math> a \,\! </math> je menší nebo rovné číslu <math> b \,\! </math> podle <math> R \,\! </math>, pokud číslo <math> a \,\! </math> dělí číslo <math> b \,\! </math> ).
Každá konečná podmnožina <math> \mathbb{Z}^+ \,\! </math> má supremum - supremem je v tomto případě [[nejmenší společný násobek]]. Zdaleka ne každá množina má ale největší prvek - například <math> \{ 4,6,8 \} \subseteq \mathbb{Z}^+ \,\! </math> nemá největší prvek, protože neplatí ani <math> 6 \leq_R 8 \,\! </math>, ani <math> 8 \leq_R 6 \,\! </math> . Přitom ale <math> sup_R \{ 4,6,8 \} = 24 \,\! </math>.
=== Supremum na množině racionálních čísel ===
Jak již bylo uvedeno výše, má každá shora omezená množina reálných čísel supremum. Zdálo by se, že množina <math> \mathbb{Q} \,\! </math> [[Racionální číslo|racionálních čísel]] je množině reálných čísel hodně podobná - je také [[Husté uspořádání|hustě uspořádaná]] podle velikosti. Přesto ale existují shora omezené množiny racionálních čísel, které nemají (v množině racionálních čísel) supremum.
Příkladem takové množiny je<br />
<math> \{ x \isin \mathbb{Q} : x^2 < 2 \} \,\! </math><br />
Dá se poměrně snadno ověřit, že v množině <math> \mathbb{Q} \,\! </math> nemá tato množina supremum. Pokud bych uvažoval o supremu této množiny v rámci všech reálných čísel, dopadlo by to o něco lépe - supremem by byla odmocnina ze dvou.
=== Supremum na ordinálních číslech ===
Uvažujme o [[Třída (matematika)|třídě]] <math> \mathbb{O}n \,\! </math> všech [[ordinální číslo|ordinálních čísel]]. Ordinální čísla jsou [[dobré uspořádání|dobře uspořádána]] - to znamená, že každá [[podmnožina]] má [[nejmenší prvek]] a tím pádem i [[infimum]]. Zajímavější a na první pohled ne tak zjevné je, že každá shora omezená podtřída třídy <math> \mathbb{O}n \,\! </math> (shora omezená třída ordinálních čísel je vždy množina) má supremum, ale nemusí mít největší prvek.
Například množina konečných ordinálních čísel <math> \{ 0,1,2,\ldots \} \,\! </math> nemá největší prvek, ale platí:<br />
<math> sup \{ 0,1,2,\ldots \} = \omega \,\! </math>
== Podívejte se také na ==
{{Portál matematika}}
* [[Infimum]]
* [[Největší prvek]]
* [[Maximální prvek]]
* [[Dedekindův řez]]
* [[Svaz (matematika)]]
* [[Reálné číslo|Reálná čísla]]
* [[Ordinální číslo|Ordinální čísla]]
[[Kategorie: Algebra]]
| |||