Ultrafiltr: Porovnání verzí

Přidány 3 bajty ,  před 16 lety
m
Oprava překlepů
m (rozšíření interwiki)
m (Oprava překlepů)
 
== Definice ==
Je-li <math> X \,\! </math> [[množina]] a <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> její [[potenční množina]] (tj. množina všech jejích [[Podmnožina|podmnožin]]), pak řekneme, že naprázdnáneprázdná množina <math> F \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! </math> je '''ultrafiltr''', pokud platí: <br />
# <math> F \,\! </math> neobsahuje [[Prázdná množina|prázdnou množinu]]
# <math> A,B \isin F \implies A \cap B \isin F \,\! </math>
== Vysvětlení definice ==
Podle bodu 2 je '''ultrafiltr''' [[dolů usměrněná množina]], podle bodu 3 je to [[horní množina]] - jedná se tedy o [[Filtr (matematika)|filtr]] v [[Potenční algebra|potenční algebře]].<br />
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o [[vlastní filtr]] - '''ultrafiltr''' tedy není žádný z triviálnívhtriviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math><br />
 
Podle bodu 4 je v '''ultrafiltru''' obsažena podmnožina <math> A \subseteq X \,\! </math> nebo její doplněk <math> (X - A) \subseteq X \,\! </math>. Pokud by pro některou množinu <math> A \subseteq X \,\! </math> obsahoval ultrafltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i <math> A \cap (X - A) = \emptyset \,\! </math> , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.<br />
Tato vlastnost tedy zaručuje, že '''ultrafiltr''' je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu [[Maximální prvek|maximální]] - jakmile bychbychom se pokusilpokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.
 
== Příklady a vlastnosti ==
5 102

editací