Harmonická řada: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Řádek 8:
Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. <math>\lim_{n \to \infty} {1\over n} = 0</math>, řada diverguje a její součet je roven nekonečnu,
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty.</math>
To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil [[Mikuláš Oresme]]:
:<math>s_{2^n} = \sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \cdots + \frac {1} {2^n} \ge 1+ \frac 1 2+ (\frac 1 4 + \frac 1 4) + ... + (\frac 1 {2^n} + ... + \frac 1 {2^n})= 1+ \frac n 2 .</math>
Posloupnost částečných součtů tedy roste [[logaritmus|logaritmicky]], pro <math>m=2^n</math> tedy platí
:<math>s_m \ge 1 + {1 \over 2} \log_2 m .</math>
To je vidět i pomocí určitého [[integrál]]u
| |||